Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2014.2 - 6ª Matutino, Questão 2

Determine o trabalho W = C   F . d r realizado pelo campo de força

F x , y = x   i + x 3 + 3 x y 2 j  

Em uma partícula que inicialmente está no ponto ( - 2,0 ) , que se move ao longo do eixo x para ( 2,0 ) , e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial.

Passo 1

Primeiro, vamos fazer um esboço da curva. Como o enunciado fala, temos uma semi-circunferência de raio r = 2 :

Cuidado com a orientação da curva, o enunciado fala que ela vai desde ( - 2,0 ) até ( 2,0 ) pelo eixo x e volta pelo arco de circunferência.

Bom, como parece ser meio trabalhoso calcular essa integral de linha pela definição (imagina substituir a parametrização da curva no campo), vamos tentar aplicar o Teorema de Green. A curva até já é fechada e orientada positivamente, para facilitar nossa vida!

Temos então

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos calcular F 2 x - F 1 y

Temos:

F x , y = x - y ,   x + y

F 2 x = x x 3 + 3 x y 2 = 3 x 2 + 3 y 2

F 1 y = y x = 0

F 2 x - F 1 y = 3 x 2 + 3 y 2 - 0 = 3 x 2 + 3 y 2

Como encontramos uma expressão relativamente simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

C   F . d r = 3 D   x 2 + y 2 d x d y

Onde D é a região que vimos no passo 1 .

Passo 4

Agora vamos ter que escrever matematicamente essa região. Bom, como temos uma semi-circunferência e termos quadráticos na integral, o problema está implorando para a gente usar coordenadas polares, né? Olha só, vamos fazer:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

Nossa região pode então ser escrita como 0 r 2 e 0 θ π . Isso porque o raio varia desde a origem onde r = 0 até a circunferência, onde r = 2 e o ângulo θ faz meia volta trigonométrica, ou seja, varia desde 0 até π .

Então, podemos reescrever a integral como

C   F . d r = 3 0 π 0 2 r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 r d r d θ

= 3 0 π 0 2 r 2 r d r d θ =

= 3 0 π 0 2 r 3 d r d θ =

Passo 5

Beleza, agora é só resolver isso aí. Integrando en relação a r :

= 3 0 π r 4 4 0 2 d θ =

= 12 0 π d θ =

Agora em relação a θ :

= 12 θ 0 π =

= 12 π

Resposta

12 π

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