Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2014.2 - 5ª Vespertino, Questão 2

Determine o trabalho W = C   F . d r realizado pelo campo de força

F x , y = x 2 x - y   i + x y 2   j

Em uma partícula que se move da origem ao longo do eixo x para ( 1,0 ) , em seguida ao longo de um segmento de arco de circunferência x 2 + y 2 = 1 até ( 0,1 ) , e então de volta à origem ao longo do eixo y .

Passo 1

Primeiro, vamos fazer um esboço da curva. Como o enunciado fala, temos um setor de circunferência de raio r = 1 :

Cuidado com a orientação da curva, o enunciado fala que ela vai desde a origem até ( 1,0 ) , depois, ao longo do arco, vai para ( 0,1 ) e, em seguida, volta para a origem.

Bom, como parece ser meio trabalhoso calcular essa integral de linha pela definição (imagina substituir a parametrização da curva no campo), vamos tentar aplicar o Teorema de Green. A curva até já é fechada e orientada positivamente, para facilitar nossa vida!

Temos então

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos calcular F 2 x - F 1 y

Temos:

F x , y = x 2 x - y   ,   x y 2

F 2 x = x x y 2 = y 2

F 1 y = y x 2 x - y = - x 2

F 2 x - F 1 y = x 2 + y 2

Como encontramos uma expressão relativamente simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

C   F . d r = D   x 2 + y 2 d x d y

Onde D é a região que vimos no passo 1 .

Passo 4

Agora vamos ter que escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um setor de circunferência e termos quadráticos na integral, o problema está implorando para a gente usar coordenadas polares, né? Olha só, vamos fazer:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

Nossa região pode então ser escrita como 0 r 1 e 0 θ π / 2 . Isso porque o raio varia desde a origem onde r = 0 até a circunferência, onde r = 1 e o ângulo θ faz 1 / 4 de volta trigonométrica, ou seja, varia desde 0 até π / 2 .

Então, podemos reescrever a integral como

C   F . d r = 0 π / 2 0 1 r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 r d r d θ

= 0 π / 2 0 1 r 2 r d r d θ =

= 0 π / 2 0 1 r 3 d r d θ =

Passo 5

Beleza, agora é só resolver isso aí. Integrando em relação a r :

= 0 π / 2 r 4 4 0 1 d θ =

= 1 4 0 π / 2 d θ =

Agora em relação a θ :

= 1 4 θ 0 π / 2 =

= π 8

Resposta

π 8

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