Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2018.2, Questão 4

Questão 4: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha da função vetorial

C   e x 3 + y 2 d x + x + y 5 d y

onde C é o bordo da região delimitada por x = y 2 + 1 e x = 5 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Antes de apresentar a igualdade do Teorema que vamos utilizar, que tal mudarmos a notação dessa integral de linha?

C   e x 3 + y 2 d x + x + y 5 d y = C   F d r

Onde F = e x 3 + y 2 , x + y 5 . É a mesma coisa só que escrita de uma forma mais “enxuta”!

Pois bem, o maravilhoso Teorema de Green nada mais é do que essa igualdade linda aqui:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Agora, para aplicar tal igualdade, temos que ter algumas hipóteses satisfeitas. Para verificar, venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As três hipóteses do Teorema, basicamente são:

  1. Curva C fechada e delimitando D .
  2. Orientada positivamente.
  3. Campo F sem singularidades.

No nosso caso, todas elas estão sendo satisfeitas pelo problema, mas para verificar, me acompanhe nos próximos passos!

Passo 3

Quanto à curva C fechada, isso acontece já que ela é borda de uma região limitada. Podemos desenha-la para conferir!

Colocando as x = y 2 + 1 e x = 5 no plano...

Olha a região aí no interior:

Passo 4

Para a orientação positiva, precisamos da curva girando no sentido anti-horário:

O que acontece já desde o enunciado!

Passo 5

Para a última análise, temos que verificar se o campo F não possui nenhuma singularidade no interior de onde estamos trabalhando:

F = e x 3 + y 2 , x + y 5

Veja que ele é formado apenas por termos que são contínuas em qualquer ponto do plano! Logo, essa última hipótese também está ok!|

Passo 6

Com essas três análises, podemos finalmente aplicar a igualdade do teorema como o enunciado nos pede para resolver a integral de linha:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Calculando então essas derivadas parciais dado que:

F = e x 3 + y 2 F 1 , x + y 5 F 2    

F 2 x = 1               e               F 1 y = 2 y

Logo, a integral dupla que precisaremos resolver é:

D   1 - 2 y d A

Vamos nessa?

Passo 7

Para calcular tal integral, a primeira coisa a se fazer é descrever a região D :

Veja que podemos fazer isso utilizando a classificação em região do tipo 2 , onde x varia da parábola à reta, enquanto o y varia entre o ponto (bolinha) de baixo em azul, ao ponto de cima:

p a r á b o l a x r e t a

p o n t o   d e   b a i x o y p o n t o   d e   c i m a

A parábola possui equação x = y 2 + 1 e a reta x = 5 :

y 2 + 1 x 5

Enquanto os pontos para os limites de y , são provenientes da intersecção entre a reta e parábola:

x = y 2 + 1   x = 5                                                 y 2 + 1 = 5            

y 2 = 4                         y = ± 2

Então...

- 2 y 2

Passo 8

Finalmente, calculando a integral dupla:

D   1 - 2 y d A = - 2 2 y 2 + 1 5 1 - 2 y   d x d y =

- 2 2 1 - 2 y y 2 + 1 5   d x d y = - 2 2 1 - 2 y 5 - y 2 + 1 d y =

- 2 2 1 - 2 y 4 - y 2 d y = - 2 2 4 - y 2 - 8 y + 2 y 3 d y =

4 y - y 3 3 - 4 y 2 + 2 y 4 4 - 2 2 =

4 2 - 2 3 3 - 4 2 2 + 2 2 4 4 - 4 - 2 - - 2 3 3 - 4 - 2 2 + 2 - 2 4 4 =

Simplificando...

8 - 8 3 - 16 + 8 - - 8 + 8 3 - 16 + 8 =

- 8 3 - 8 3 - 16 = - 16 3 + 48 3 =

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Resposta

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