Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 14

Se D é a região interior a elipse x 2 25 + y 2 9 = 1 e exterior à circunferência x 2 + y 2 = 4 , calcule a integral de linha

I = C 2 x y + e x 2 d x + x 2 + 2 x + cos y 2 d y

Onde C = D está positivamente orientada.

Passo 1

Vamos antes de mais nada fazer um esboço da região D e da elipse, C 1 , e da circunferência, C 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos uma integral de linha, podemos tentar empregar a técnica normal e sair parametrizando as curvas.

Como eu não consigo parametrizar a elipse e a circunferência ao mesmo tempo, vou precisar separar a integral em duas (uma para cada curva). Isso vai dar um trabalhão de conta! Então, para facilitar, vou usar o teorema de Green.

Passo 3

Antes de sair usando o teorema de Green, precisamos garantir que a curva está fechada (como é uma elipse e uma circunferência tá tudo certo) e positivamente orientada (o enunciado já garante isso pra gente :D). Além disso, o campo tem que estar bem definido em D . Como não tem divisão por zero, raiz negativa nem nada do tipo tá tudo certo e podemos mandar bala no teorema que diz:

C F x , y d r = D F 2 x - F 1 y d A

Passo 4

Agora a nossa missão é calcular a integral dupla na esquerda! Para isso, primeiro vamos calcular o integrando alí

F 1 = 2 x y + e x 2 ,     F 2 = x 2 + 2 x + cos y 2 F 2 x - F 1 y = 2 x + 2 - 2 x = 2

Então, vamos ter o seguinte

D 2 d A = 2 D d A = 2 A ( D )

Onde A ( D ) é a área de D .

Passo 5

Beleza, mas como calculo essa área? Cara a gente pode lembrar lá da geometria e fazer a área da elipse menos a área do círculo. Para quem não lembra a área de uma elipse vai ser

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 A = a b π

No nosso caso, temos que a = 5 e b = 3 . Vamos ficar então com

A D = A e l i p s e - A c i r c = 5 3 π - 4 π = 11 π

Logo,

D F 2 x - F 1 y d A = 2 A D = 22 π

Resposta

22 π

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