Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

USP, Cálculo 3, P2 - 2019, Questão 11

Seja C a fronteira do retângulo R = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 , percorrida uma única vez no sentido anti-horário. A integral

∫ C ( 6 x 5 y + l n ⁡ ( 1 +   1 + x 2 ) )   d x + x 6 + x 2 + y 2 + e y 1 + s e n 2 y d y

é igual a:

Passo 1

Como estamos trabalhando nessa questão com um retângulo fechado bonitinho, e o campo parece beeem complicado de trabalhar, pensamos logo de cara no teorema de green, onde:

Vamos começar então por essa integral dupla.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo o rotacional:

F = ( 6 x 5 y + l n ( 1 + ( 1 + x 2 ) ) , x 6 + x 2 + y 2 + e y 1 + s e n 2 y

r o t F = ∂ F 2 ∂ x - F 1 ∂ y

r o t F = 6 x 5 + 2 x - 6 x 5

r o t F = 2 x

Montando então a integral dupla, ficamos com:

∬ D 2 x   d x   d y

Passo 3

Pra terminar de montar essa integrl, observa que pra nossa sorte o enunciado já passou bonitinho a variação de x e y. Ficamos então com:

∫ 0 1 ∫ 0 2 2 x   d x   d y

∫ 0 1 2 x 2 2 | 2 0 d y

∫ 0 1 4   d y  

= 4

Resposta

4

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