Seja C a fronteira do retângulo R = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 , percorrida uma única vez no sentido anti-horário. A integral

∫ C ( 6 x 5 y + l n ⁡ ( 1 +   1 + x 2 ) )   d x + x 6 + x 2 + y 2 + e y 1 + s e n 2 y d y

é igual a:

Passo 1

Como estamos trabalhando nessa questão com um retângulo fechado bonitinho, e o campo parece beeem complicado de trabalhar, pensamos logo de cara no teorema de green, onde:

Vamos começar então por essa integral dupla.

Passo 2

Resolvendo o rotacional:

F = ( 6 x 5 y + l n ( 1 + ( 1 + x 2 ) ) , x 6 + x 2 + y 2 + e y 1 + s e n 2 y

r o t F = ∂ F 2 ∂ x - F 1 ∂ y

r o t F = 6 x 5 + 2 x - 6 x 5

r o t F = 2 x

Montando então a integral dupla, ficamos com:

∬ D 2 x   d x   d y

Passo 3

Pra terminar de montar essa integrl, observa que pra nossa sorte o enunciado já passou bonitinho a variação de x e y. Ficamos então com:

∫ 0 1 ∫ 0 2 2 x   d x   d y

∫ 0 1 2 x 2 2 | 2 0 d y

∫ 0 1 4   d y  

= 4

Resposta

4

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem