Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 2

Sejam P x , y ,   Q x , y , P y   e   Q x funções uniformes e contínuas em um domínio conexo limitado por uma curva fechada C . Então, pelo Teorema de Green:

P d x + Q d y = R Q x - P y d x d y

Calcule a integral de linha:

x - 2 y d x + 2 x - 3 y d y

Sobre a circunferência unitária x = c o s ( t ) , y = sen ( t ) ; 0 t π utilizando o Teorema de Green.

Passo 1

O segredo aqui é não pensar demais: vamos dar uma olhada na integral que queremos resolver:

x - 2 y d x + 2 x - 3 y d y

Ou seja:

P = ( x - 2 y )

Q = ( 2 x - 3 y )

A fórmula que o enunciado deu diz que, pelo Teorema de Green, podemos igualar aquele integral de linha à seguinte integral de superfície:

R ( 2 x - 3 y ) x - ( x - 2 y ) y d x d y

Beleza, já aplicamos o teorema de Green, agora a questão é: como resolver essa integral de superfície?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O primeiro passo é resolver as derivadas parciais que estão dentro da integral:

( 2 x - 3 y ) x = 2

( x - 2 y ) y = - 2

Agora vamos substituir isso na integral:

R 2 - ( - 2 ) d x d y = 4 R d x d y

Opa, já ficou tudo bem fácil, a gente sabe que isso aqui:

R d x d y

É simplesmente a área da região R ! Ou seja, a resposta do nosso problema é simplesmetne 4 vezes a área da região R .

Passo 3

Bom, R é a região delimitada pela curva C , mas quem é a curva C ? O enunciado já disse: é uma circunferência unitária!

Qual é a área de uma circunferência unitária? (ou seja, uma circunferência de raio 1 )

A = π r 2 = π 1 2 = π

Mas cuidado! Na parametrização que o enunciado deu, o ângulo t só ia de 0 até π , ou seja, temos algo assim:

Então vamos pegar só metade da área do círculo unitário!

A ' = A 2 = π 2

E como a nossa resposta é quatro vezes a área da região:

4 R d x d y = 4 π 2 = 2 π

Pronto!

Resposta

A integral vale 2 π .

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