Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, pp. 505-23.

Use a fórmula do teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva:

C : o   a s t r o i d e   r t = cos 3 t i + sen 3 t j

0 t 2 π

(Sugestão: Use F = - y 2 , x 2 )

Passo 1

O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.

O teorema de Green nos diz que:

D   F 1 d x + F 2 d y =   D   F 2 x - F 1 y d x d y

E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:

A D = D d x d y

Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:

D   F 2 x - F 1 y d x d y = D d x d y F 2 x - F 1 y = 1

Os campos mais simples que satifazem essa condição costumam ser:

F x , y = 0 , x   o u   F x , y = - y , 0  

Mas deve ter algum motivo pra ele ter sugerido um campo um pouquinho mais complicado, vamos ver porque!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado já diz que C é a fronteira da região que chamamos de D , ou seja, C = D .

Então o que vamos calcular é:

D d x d y = D   F 1 d x + F 2 d y = 0 2 π F x t , y t . σ ' t   d t

Já temos o campo e a curva, então só falta o vetor tangente:

σ ' t = d cos 3 t d t , d sen 3 t d t = - sen t 3 cos 2 t , cos t 3 sen 2 t

E agora já temos o que precisamos pra calcularmos nossa integral.

Passo 3

Então, com os campos mais simples teríamos:

0 2 π 0 , cos 3 t . - sen t . 3 cos 2 t , cos t . 3 sen 2 t   d t

= 0 2 π 0 + 3  cos 4 t . sen 2 t d t

O que seria bem complicado de calcular, e você pode tentar fazer com - y , 0 , mas eu acredito que vai dar algo tão complicado quanto. Vamos torcer pra o campo sugerido dê algo mais tranquilo...

0 2 π - sen 3 t 2 , cos 3 t 2 . - sen t . 3 cos 2 t , cos t . 3 sen 2 t   d t

= 3 2 0 2 π sen 4 t cos 2 t + cos 4 t sen 2 t   d t = 3 2 0 2 π sen 2 t cos 2 t sen 2 t + cos 2 t   d t

= 3 2 0 2 π sen t cos t 2 d t = 3 2 0 2 π sen 2 t 2 2 d t = 3 8 0 2 π sen 2 2 t d t

O que não é nada absolutamente trivial, mas é bem mais viável que o que tínhamos tentado com F = ( 0 , x ) . É só lembrar que que sen 2 θ = 1 - cos 2 θ 2 , que vamos ter:

3 8 0 2 π sen 2 2 t d t = 3 8 0 2 π 1 2 d t + 0 2 π cos 4 t 2 d t = 3 16 t 0 2 π + sen 4 t 4 0 2 π = 3 π 8

Resposta

3 π 8

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