Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Use o teorema de Green para determinar o trabalho W = ∫ C   F ∙ d r realizado pelo campo de força

F x ,   y = x i + x 3 + 3 x y 2 j ,

Em uma partícula que inicialmente está no ponto - 2 ,   0 , se move ao longo do eixo x para 2 ,   0 e então se move ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer em um exercício como esse, é entender um pouco melhor sobre a curva que estamos querendo trabalhar.

Pra isso, vamos simular a trajetória dessa partícula. Ele disse que ela está inicialmente no ponto - 2 ,   0 :

Depois andamos em cima do eixo x até o ponto ( 2 ,   0 )

E agora vamos voltar ao ponto de origem pela semicircunferência de raio 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Observe agora que fizemos um caminho fechado e percorremos em um sentido anti-horário (orientação positiva), ou seja, ideal para aplicar o teorema de Green!

Temos por Green que

∫ C   F ∙ d r = ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Essa região D da integral dupla, é a região dentro do caminho fechado que percorremos, ou seja o semicírculo

Quanto a essas derivadas parciais, bem....

Passo 3

Essas derivadas parciais aí são o que a gente chama do rotacional do campo, onde a Q e a P são as componentes dele:

F x ,   y = x i + x 3 + 3 x y 2 j

então

Q = x 3 + 3 x y 2

P = x

Calculando essas derivadas parciais

∂ Q ∂ x = ∂ x 3 + 3 x y 2 ∂ x = 3 x 2 + 3 y 2

∂ P ∂ y = ∂ x ∂ y = 0

Logo

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 3 x 2 + y 2

Passo 4

Retornando para Green...

∫ C   F ∙ d r = ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A →

∫ C   F ∙ d r = ∬ D   3 x 2 + y 2 d A

Agora é só resolver essa integral dupla aí e correr para o abraço! :D

Passo 5

Hummmm! Essa integral dupla aí tem soma de quadrados, além disso, estamos calculando uma integral dupla dentro de um semicírculo, ora, usemos coordenadas polares então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Uma equação que nos ajuda muito é

x 2 + y 2 = r 2

não podemos deixar o jacobiano de lado (toda mudança tem ele, lembra?). Em polares ele é

J = r

Não podemos prosseguir sem antes os limites desses novos parâmetros.

Passo 6

Como estamos dentro de um semicírculo, θ dá a metade de uma volta

0 ≤   θ ≤ π

Quanto ao r , bem, ele começa no z e r o e termina no raio máximo, que a gente observa ser 2

0 ≤ r ≤ 2

Passo 7

Voltando para a integral dupla que devemos resolver

∬ D   3 x 2 + y 2 d A

E substituir tudo que obtivemos até agora

∫ 0 π ∫ 0 2 3 r 2 ∙ J d r d θ =

3 ∫ 0 π ∫ 0 2 r 3 d r d θ =

Integrando em r

3 ∫ 0 π r 4 4 0 2 d θ

Substituindo os limites de integração...

3 ∫ 0 π 2 4 4 d θ =

3 ∙ 4 ∫ 0 π d θ

Integrando em θ agora

  12 θ 0 π = 12 π

Resposta

W = 12 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas