Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, pp. 504-9.

Use o teorema de Green para encontrar a circulação no sentido anti-horário para o campo F e a curva C :

F = x + e x sin ⁡ y i + x + e x cos ⁡ y j

C : O laço do lado direito da lemniscata r 2 = cos ⁡ 2 θ .

Passo 1

No enunciado ele já pede pra usar o Teorema de Green, mas mesmo que pudesse escolher, eu nunca faria isso pela definição, imagina como ia ficar complicado parametrizar essa lemniscata...

Por sorte, o teorema simplifica bastante as coisas pra a gente:

∮ ∂ D   F 1 d x + F 2 d y =   ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

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Passo 2

Como a fórmula nos mostra, precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ F 2 ∂ x = 1 + e x cos ⁡ y

∂ F 1 ∂ y = e x cos ⁡ y

Nada muito bizarro por enquanto, né?

Passo 3

Vamos jogando na fórmula, então:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D   1 + e x cos ⁡ y - e x cos ⁡ y d x d y

= ∬ D   1 d x d y

Mas agora não dá pra fugir, vamos ter que ver como que vai ficar esse domínio de D .

Passo 4

A fórmula da tal lemniscata (nossa, o que é isso??) já sugere algo com coordenadas polares, então vamos usá-las. (Pra lembrar: x , y = ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) )

Primeiro, vamos tentar entender o que é a imagem e, pra isso, vou “marcar” alguns pontos importantes.

A curva começa com θ = 0 → r = 1 , que é o valor máximo para r e, partir disso:

0 ≤ θ ≤ π 4 → r é decrescente de 1 até 0 .

π 4 < θ < 3 π 4 → r não tem valor real definido, já que cos ⁡ 2 θ < 0 .

3 π 4 ≤ θ ≤ π → r crescente de 0 até 1.

π < θ < 5 π 4 → r decrescente de 1 até 0

5 π 4 ≤ θ ≤ 7 π 4 → r não definido, cos ⁡ 2 θ < 0 .

7 π 4 ≤ θ ≤ 2 π → r crescente de 0 até 1.

Se você anotou tudo direitinho, acho que chegou perto de algo assim:

Eu sei, bem complicado, mas o que importa é que encontrar os limites, e agora fica mais tranquilo.

A parte do laço direito que o enunciado se refere deve ser a parte com x > 0 , mais especificamente, as partes que escrevemos 0 ≤ θ ≤ π 4 e 7 π 4 ≤ θ ≤ 2 π ; que, pra ficar bonitinho (e bem mais simples), podemos escrever - π 4 ≤ θ ≤ π 4 . Opa, já temos um dos limites!

E o outro é bem mais fácil, a região D é simplesmente o que está dentro da curva, ou seja, 0 ≤ r ≤ cos ⁡ 2 θ .

Agora é só resolver a integral, vamos ver como vai ficar.

Passo 5

Temos que:

(lembrando que d x d y = r ∙ d r d θ )

∬ D   d x d y = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r ∙ d r d θ = ∫ - π 4 π 4 r 2 2 │ 0 cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ - π 4 π 4 cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

sin ⁡ 2 θ 4   │ - π 4 π 4 = 1 4 - - 1 4 = 1 2

Viu? Até que não foi tão complicado assim, chato mesmo foi só entender a curva, mas agora já resolvemos!

Resposta

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