Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para

F → x , y = ( 4 x - 2 y , 2 x + 6 y )

Onde D é a região interior à elipse x 2 4 + y 2 = 1 .

Passo 1

Show nessa questão precisamos verificar o Teorema de Green. O que ele diz? Se tivermos:

  • Curva Fechada
  • Curva Positivamente Orientada
  • Campo bem definido dentro da curva

Então, podemos dizer que

∮ C F → ( x , y ) ⋅ d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Temos então que garantir as condições do teorema e depois fazer essas duas integrais e ver se o resultado é o mesmo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, como a curva é uma elipse, temos uma curva fechada. Vamos colocar o sentido de giro anti-horário. Assim, temos que a curva fica positivamente orientada.

Por fim, o campo está bem definido em todo o plano (não tem nenhuma divisão por zero, raiz negativa ou coisas do gênero). Então está bem definido dentro da curva.

Dito isso, as condições estão satisfeitas. Bora calcular as duas integrais!

Passo 3

Primeiro vamos calcular a integral de linha sobre a elipse. Para isso, precisamos parametrizar a elipse. Vamos usar a seguinte parametrização

σ → θ = { 2 cos ⁡ θ , s e n θ , θ ∈ ( 0,2 π ) }

Logo, a derivada da parametrização fica

σ → ' θ = - 2 sin ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ  

Colocando a parametrização dentro do campo temos

F → σ → θ = F → 2 cos ⁡ θ , s e n θ = 4 2 cos ⁡ θ - 2 s e n θ , 2 2 cos ⁡ θ ) + 6 ( s e n θ = ( 8 cos ⁡ θ - 2 s e n   θ , 4 cos ⁡ θ + 6 sin ⁡ θ )

Vamos montar agora a nossa integral! Fica esperto com os limites de integração. Como o giro é anti-horário, temos que

∮ C F → x , y ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 8 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ , 4 cos ⁡ θ + 6 sen ⁡ θ ⋅ - 2 sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ =

∫ 0 2 π - 16 cos ⁡ θ s e n θ + 4 sen 2 ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ + 6 cos ⁡ θ s e n θ d θ = ∫ 0 2 π ( - 10 cos ⁡ θ s e n θ + 4 ) d θ = - 10 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ s e n θ d θ + 8 π

Para essa última integral, vamos usar u = s e n θ → d u = cos ⁡ θ d θ . Então, temos

8 π

Passo 4

Agora vamos para a integral dupla. Vamos calcular o integrando:

F 1 = 4 x - 2 y ,     F 2 = 2 x + 6 y → ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 - - 2 = 4

Por se tratar de uma elipse, vamos empregar as coordenadas polares como se segue

x = 2 r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n θ

O jacobiano será dado por

J = 2 r

Substituindo na equação da elipse, vamos ter

x 2 4 + y 2 = 1 → r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 1 → r 2 = 1 → r = 1

Logo, 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . A variação do ângulo sai do fato que temos partes da elipse nos 4 quadrantes! Show, partiu montar a integral

∫ 0 1 ∫ 0 2 π 4 2 r d θ d r = 8 ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r d θ d r

Fazendo a integração em θ , temos

16 π ∫ 0 1 r d r = 8 π

Como ambos os resultados deram iguais, o teorema se verifica!

Resposta

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