Ache as assíntotas horizontais e verticais da função:

f x = x - 2 x 2 -   x - 2

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

A questão quer que encontremos as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = x - 2 x 2 -   x - 2

Primeiro temos que lembrar que assíntotas são linhas imaginárias que delimitam o gráfico de nossa função à medida que ele cresce ou decresce. Então temos que encontrar o valor dessas linhas para solucionar o nosso probleminha!

Para encontrar nossas assíntotas horizontais devemos calcular os seguintes limites:

l i m x → ∞ + x - 2 x 2 -   x - 2   e l i m x → ∞ - x - 2 x 2 -   x - 2

Como nosso x está tendendo ao ∞ +   e   ∞ -   , a dica é dividir toda a equação pelo x de maior expoente para aí sim poder aplicar o nosso limite. Bora lá!

Passo 2

l i m x → ∞ + x ² ( 1 x - 2 x 2 ) x 2 ( 1 - 1 x - 2 x 2 )   e l i m x → ∞ - x ² ( 1 x - 2 x 2 ) x 2 ( 1 - 1 x - 2 x 2 )

Para x → ∞ + :

l i m x → ∞ + x ² ( 1 x - 2 x 2 ) x 2 ( 1 - 1 x - 2 x 2 )

=   l i m x → ∞ + 1 x - 2 x 2 1 - 1 x - 2 x 2

É legal sempre lembramos que quando dividimos um número por outro número giganteeee como o infinito, esse número tenderá a zero. É por isso que estamos utilizando essa estratégia nessa questão. Show??

=   l i m x → ∞ + 0 - 0 1 - 0 - 0

=   l i m x → ∞ + 0 1

=   l i m x → ∞ + 0

=   0

Bom sempre lembrar também que o limite de uma constante é a própria constante!

Para x → ∞ - :

l i m x → ∞ - x ² ( 1 x - 2 x 2 ) x 2 ( 1 - 1 x - 2 x 2 )

= l i m x → ∞ - 1 x - 2 x 2 1 - 1 x - 2 x 2    

=   l i m x → ∞ + 0 - 0 1 - 0 - 0

=   l i m x → ∞ + 0 1

= 0

Obtemos o mesmo valor, logo podemos afirmar que a assíntota horizontal é y = 0 .

Passo 3

Agora xuxus, para descobrirmos as assíntotas verticais temos que observar na nossa função os possíveis valores de x que dariam problema em nosso domínio. Let’s go!

Sendo a nossa função

f x = x - 2 x 2 -   x - 2

Teríamos problema em nosso domínio se o denominador desta equação for igual a zero, ou seja, se x 2 -   x - 2 = 0 . Assim,

x 2 -   x - 2 = 0

x = - ( - 1 ) ± √ ( - 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 2 ) ) 2 ⋅ 1

x = 1 ± 1 + 8 2

x = 1 ± 9 2

x = 1 ± 3 2

x = 2   o u   x =   - 1

Encontramos dois valores agora temos que conferir se os dois realmente são nossas assíntotas verticais e para isso vamos calcular o limite da nossa função tendendo a ambos os valores. Caso o nosso resultado exploda para o infinito já podemos comemorar!

Para x → 2 :

l i m x → 2 x - 2 x 2 -   x - 2 =   0 0

Substituindo x → 2 , encontramos uma indeterminação que facilmente pode ser resolvida se simplificarmos nossa expressão, fatorando o numerador e o denominador:

l i m x → 2 x - 2 x 2 -   x - 2

l i m x → 2 x - 2 x - 2 ⋅ ( x + 1 )

l i m x → 2 1 ( x + 1 )

l i m x → 2 1 ( 2 + 1 )

1 3

Logo x = 2 não é nossa assíntota vertical! Vamos verificar o x = - 1 :

l i m x → - 1 x - 2 x 2 -   x - 2

l i m x → - 1 - 1 - 2 ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) - 2

l i m x → - 1 - 3 0

= - ∞

Obaaaa! O limite explodiu para o infinito, assim, o x = - 1 é a nossa assíntota vertical. Vamos dar uma olhadinha no gráfico para conferir se tá tudo certinho.

Show!!! Tudo certo 😊

Até mais!

Resposta

y = 0   e   x =   - 1

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