Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Q04) Encontre as assíntotas horizontais e verticais da seguinte função

f x = 6 x 2 + 1 x 2 - 1   ,     x ≥ 0   e   x ≠ 1 5 x - 1 x + 2 ,     x < 0   e   x ≠ - 2

Passo 1

Questão bem direta ao ponto né? Vamos lá então. Ela quer as assíntotas, então vamos começar pelas horizontais. Basta a gente fazer:

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como são leis de formação diferentes pra intervalos de x diferentes, a lei que ta valendo pra x ≥ 0 entra no primeiro limite e a lei que ta valendo pra x < 0 no segundo. Vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ 6 x 2 + 1 x 2 - 1

lim x → - ∞ ⁡ 5 x - 1 x + 2

Como temos um caso ai de limites com quociente de polinômios e x tendendo aos infinitos, pros dois limites bora usar a mesma estratégia: por o termo de maior grau dos polinômios no numerador e no denominador em evidência:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 6 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 5 - 1 x x 1 + 2 x

Cortando os termos em comum e resolvendo os limites:

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 6 + 1 ∞ 1 - 1 ∞ = 6 + 0 1 - 0 = 6

lim x → - ∞ ⁡ 5 - 1 x 1 + 2 x = 5 - 1 - ∞ 1 + 2 - ∞ = 5 - 0 1 + 0 = 5

Então temos sim assíntotas horizontais: duas diferentes! Elas vão ser:

y = 6

y = 5

Passo 2

Pras assíntotas verticais, a gente tem que olhar os pontos da lei de formação que “dão problema”. Saca só:

f x = 6 x 2 + 1 x 2 - 1   ,     x ≥ 0   e   x ≠ 1 5 x - 1 x + 2 ,     x < 0   e   x ≠ - 2

E olhaí! A função não está definida nem em x = 1 e nem em x = - 2 . São exatamente esses os pontos que vamos testar então os limites laterais. Começando com x = 1 vamos ter:

lim x → 1 - ⁡ f x

lim x → 1 + ⁡ f x

Como a lei de formação não muda nas proximidade de x = 1 e sim nas proximidades de x = 0 , a lei de formação pros dois limites acima vai ser a mesma:

lim x → 1 - ⁡ 6 x 2 + 1 x 2 - 1

lim x → 1 + ⁡ 6 x 2 + 1 x 2 - 1

Agora vamos olhar os limites separadamente pra não nos enrolarmos:

lim x → 1 - ⁡ 6 x 2 + 1 x 2 - 1 = 7 0 - = - ∞

Veja bem, se você for pegando números menores que 1 mas cada vez mais próximos dele, como 0,9 por exemplo, por ao quadrado (no caso, 0,9 2 = 0,81 ) e subtrair um (no caso, 0,81 - 1 = - 0,19 ), sempre vai achar números próximos de 0 porém negativos. Por isso o limite acima deu 0 - no denominador. Já o numerador da positivo se substituirmos x = 1 . Um número positivo dividido por um número infinitamente pequeno e negativo dá um número infinitamente grande e negativo, logo, - ∞ .

lim x → 1 + ⁡ 6 x 2 + 1 x 2 - 1 = 7 0 + = + ∞

Agora, se você for pegando números maiores que 1 mas cada vez mais próximos dele, como 1,1 por exemplo, por ao quadrado (no caso, 1,1 2 = 1,21 ) e subtrair um (no caso, 1,21 - 1 = 0,21 ), sempre vai achar números próximos de 0 e positivos. Por isso o limite acima deu 0 + no denominador. Um número positivo dividido por um número infinitamente pequeno e positivo dá um número infinitamente grande e positivo, logo, + ∞ . Como os dois limites laterais explodiram para x = 1 temos aí uma assíntota vertical!

Passo 3

Vamos agora nesse último passo testaro último candidato a assíntota vertical, belê? Pra isso faremos os limites:

lim x → - 2 - ⁡ 5 x - 1 x + 2

lim x → - 2 + ⁡ 5 x - 1 x + 2

Pegando números menores que - 2 porém beeem próximos e somando 2 , o denominador fica negativo. Pegando números maiores que - 2 porém beeem próximos e somando 2 , o denominador fica positivo. Sendo assim, os limites vão ficar:

lim x → - 2 - ⁡ 5 x - 1 x + 2 = 5 ∙ - 2 - 1 0 - = - 11 0 - = + ∞

lim x → - 2 + ⁡ 5 x - 1 x + 2 = 5 ∙ - 2 - 1 0 + = - 11 0 + = - ∞

E olha só! Explodiu pros infinitos também! Temos ai outra assíntota vertical!

Resposta

A s s í n t o t a s   H o r i z o n t a i s → y = 5 y = 6 A s s í n t o t a s   V e r t i c a i s →   x = 1 x = - 2

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