14) Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Eaí gente, bora matar mais uma questão!!

Bora relembrar rapidinho como que encontramos as assíntotas horizontais e verticais sem precisar desenhar o gráfico.

Assíntota Horizontal: Basicamente precisamos calcular dois limites:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) e lim x →   + ∞ ⁡ f x

Se um desses limites assumir valor finito, então esse valor representa uma assíntota horizontal. Bem simples né?

Assíntota Vertical: Aqui precisamos analisar a nossa função f e procurar algum valor de x que possa causar indeterminação matemática. Na maioria dos casos, vamos procurar pontos onde a função está “dividindo por zero” na sua lei de formação.

Show, agora que já entendemos o que a questão está pedindo e como calcular isso, vamo meter bronca.

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, temos:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x   = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 + 1 x 2 x 2 2 - 3 x = 2 2 = 1

Excelente!! Já temos nossa primeira assíntota horizontal: y = 1 .

Continuando...

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x =   l i m x → + ∞ x 2 2 + 1 x 2 x 2 2 - 3 x = 1

Encontramos a mesma assíntota de antes. Mas beleza, sem problemas, concluímos então que a nossa assíntota horizontal ocorre em y = 1 .

Passo 3

Vamos buscar as assíntotas verticais.

Observando nossa função, vemos que ela é um quociente de dois polinômios. Bora calcular então que valores de x zeram o denominador de f , ou seja, as raízes de p x = 2 x 2 - 3 x

2 x 2 - 3 x = x 2 x - 3 = 0 ⇔ x = 0   ou x = 3 / 2

Boa, temos dois fortes candidatos a assíntota vertical de f . Só precisamos calcular os limites laterais nesses pontos e verificar se pelo menos um deles tende a infinito.

lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x =   + ∞ lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x =   - ∞

Show, já confirmamos que x = 0 realmente é uma assíntota vertical!

lim x → 3 2 - ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → 3 2 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 x - 3 =   - ∞ lim x → 3 2 + ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → 3 2 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 x - 3 =   - ∞

Aee, x = 3 2 também é uma assíntota vertical!

Matamos mais uma!! 😊

Resposta

Assíntota Horizontal: y = 1

Assíntotas Verticais: x = 0 e x = 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0