Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 4 , vemos que a função da problema porque:

f 4 = 1 4 - 4 - 1 4 2 - 5 . 4 + 4 = 1 0 - 1 16 - 20 + 4 = 1 0 - 1 0

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x ≠ 4 . Como x = 4 é um ponto que gera indeterminação, esse ponto é um candidato pra assíntota vertical

Passo 2

Agora, em x = 4 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x → 4 + ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4       ;       lim x → 4 - ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Repara, para ambos precisamos primeiro reescrever o limite. O denominador mais complicado é um polinômio de segundo grau que já sabemos uma das raízes, o próprio 4 . A outra vai ser b , tal que:

x 2 - 5 x + 4 = x - 4 x - b

x 2 - 5 x + 4 = x 2 - b + 4 x + 4 b

Se

b + 4 = 5

4 b = 1

Então

b = 1

E logo:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 x - 4 - 1 x - 4 x - 1

x - 1 x - 4 x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 2 x - 4 x - 1

Fazendo isso no limite:

lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x → 4 ± ⁡ x - 2 x - 4 x - 1 =

= lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4 lim x → 4 ± ⁡ x - 2 x - 1

= lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4 4 - 2 4 - 1 = 2 3 lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4

Observando-o lateralmente temos:

2 3 lim x → 4 + ⁡ 1 x - 4 = + ∞

2 3 lim x → 4 - ⁡ 1 x - 4 = - ∞

E com isso, concluímos que x = 4 é uma assíntota vertical!

Passo 3

Mas calma lá, o polinômio x 2 - 5 x + 4 não tinha duas raízes? O que vai acontecer em x = 1 ? Vamos substituir e ver:

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = x - 2 x - 4 x - 1

f 1 = 1 - 2 1 - 4 1 - 1 = - 1 - 3.0 = 1 0

Opa, outra indeterminação! Já que é assim, x = 1 também é um candidato à assíntota vertical. Partiu então calcular o limite:

lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x → 1 ± ⁡ x - 2 x - 4 x - 1 =

= lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 1 lim x → 1 ± ⁡ x - 2 x - 4

= lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 1 1 - 2 1 - 4 = 1 3 lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 1

Observando-o lateralmente temos:

1 3 lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

1 3 lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

E com isso, concluímos que x = 1 também é uma assíntota vertical!

Passo 4

E pra fechar com chave de ouro, falta só a gente checar as assíntotas horizontais. Para isso, precisamos fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Como já vimos, esse limite vai ser igual à

lim x → ± ∞ ⁡ x - 2 x - 4 x - 1

Abrindo o denominador, temos:

lim x → ± ∞ ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 4

Colocando os termos de maior ordem em evidência, ficamos com:

lim x → ± ∞ ⁡ x 1 - 2 x x 2 1 - 5 x + 4 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 2 x x 1 - 5 x + 4 x 2

E, por fim, aplicando o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 2 x x 1 - 5 x + 4 x 2 = 1 - 0 ± ∞   1 - 0 + 0 = 1 ± ∞ = 0

E prontinho! Questão resolvida, agora é só partir pro abraço. Vamos ter que y = 0 é também uma assíntota, só que esta é horizontal

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   x = 1   e   x = 4

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

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