Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.

f x = 2 x 2 + 1 x - 1

Passo 1

Eaeeee, belezinha???

Para as assíntotas horizontais, temos que verificar o limite quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Assim, vamos devagarinho aqui.

Para x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x - 1

Podemos simplificar a expressão da seguinte forma:

2 x 2 + 1 x - 1 = 2 x 2 + 1 x x - 1 x = 2 + 1 x 2 1 - 1 x

Assim, temos o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 + 1 x 2 1 - 1 x = 2 + 0 1 - 0 = 2

Agora vamos descobrir a outra!!

Passo 2

Para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x - 1

Podemos simplificar a expressão da seguinte forma:

2 x 2 + 1 x - 1 = 2 x 2 + 1 - x x - 1 - x = 2 + 1 x 2 - 1 + 1 x

Assim, temos o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 + 1 x 2 - 1 + 1 x = 2 + 0 - 1 - 0 = - 2

Agora vamos descobrir as assíntotas verticais!!

Passo 3

Para se ter uma assíntota vertical em x   =   a , algum dos limites laterais de f em a precisa ser ou - ∞ .

E, para nossa função, os pontos em que isso pode ocorrer são aqueles que zeram o denominador de f , ou seja, x = 1 .

Dessa forma, aplicando os limites laterais em x → 1 , temos:

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x - 1 = ∞

E

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x - 1 = - ∞

Assim, podemos que em x = 1 haverá uma assíntota vertical de f .

Graficamente, temos:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Assíntotas horizontais em f x = 2 e em f x = - 2

Assíntota vertical em x = 1

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
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Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0