Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

f x = 2 x - 6 x 2 - 4 x + 3

Passo 1

Primeiro passo é a gente entender como calculamos uma assíntota vertical e uma horizontal.

De forma bem sucinta e prática:

Assíntota horizontal: Fazemos x → ∞ + e x → ∞ - e se lim x → ∞ ± ⁡ f x = c , onde c é uma constante, temos uma assíntota horizontal. Lembrando que podemos ter valores de constantes dependendo se estamos fazendo x → ∞ + e x → ∞ - , logo teríamos 2 assíntotas horizontais nesses dois valores diferentes de constantes.

Assíntota vertical: Precisamos encontrar um valor de x que faça o denominador tender a zero, se a f x = ± ∞ , temos então uma assíntota vertical no valor que fizemos x tender.

Então, bora pro rolo!

Passo 2

Pra gente encontrar a assíntota horizontal!!

lim x → ∞ + ⁡ = 2 x - 6 x 2 - 4 x + 3 = ∞ ∞

lim x → ∞ - ⁡ = 2 x - 6 x 2 - 4 x + 3 = ∞ ∞

Opa, temos indeterminações! Precisamos fazer uma mágica haha

Essa mágica é: toda vez que vermos polinômios no numerador e denominador, uma estratégia é colocar em evidência a maior potência, beleza?

2 x - 6 x 2 - 4 x + 3 = x 2 - 6 x x 2 1 - 4 x + 3 x 2 = 2 - 6 x x 1 + 4 x + 3 x 2

Agora vamos aplicar o limite!

lim x → ∞ + ⁡ 2 ∞ = 0

lim x → ∞ - ⁡ 2 ∞ = 0

Concluímos que há assíntota horizontal em   y = 0

Passo 3

Agora verificando a assíntota horizontal, a gente precisa determinar o valor que fará o denominador tender a zero. Como temos um polinômio, a melhor estratégia é a gente tentar encontrar as raízes do polinômio.

x 2 - 4 x + 3 = 0

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 4 1 3 = 16 - 12 = 4

x = - b ± Δ 1 2 2 a = 4 ± 2 2

x 1 = 3

x 2 = 1

Passo 4

Vamos agora testar esses valores das raízes pra verificar as assíntotas verticais. Pois observe que não é porque temos duas raízes que necessariamente ambas são assíntotas verticais.

lim x → 3 + ⁡ 2 x - 6 x 2 - 4 x + 3

O numerador vamos ter algo positivo, certo? Uma vez que 3+ significa que estamos nos aproximando de 3 com valores maiores ele mesmo. Então nosso numerador será POSITIVO, porém será um valor muitooo próximo de zero. De igual forma, isso acontecerá também no denominador. Fazendo a análise para x → 3 - teremos a mesma situação, ou seja, uma indeterminação. Então, essa raiz não forma assíntota. Bora analisar a raiz x 2 = 1

lim x → 1 + ⁡ 2 x - 6 x 2 - 4 x + 3

lim x → 1 - ⁡ 2 x - 6 x 2 - 4 x + 3

O numerador terá o valor aproximadamente de – 4, porém o denominador tenderá pra zero, ou seja, teremos - 4 d e n o m i n a d o r → 0 = ∞ .

Isso implica que em x = - 1 é um valor de assíntota vertical, e, graficamente temos:

Resposta

Assíntota horizontal y = 0

Assíntota vertical x = - 1

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