Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Passo 1

As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto dos pontos de descontinuidade. No caso da função dada, isso ocorre quando o denominador é nulo.

2 x 2 - 3 x = 0

x 2 x - 3 = 0

x = 0

2 x - 3 = 0

x = 3 2

Podemos ter assíntotas verticais em x = 0 e x = 3 2 . Vamos verificar.

Passo 2

lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 x + 1 x 2 x 2 x - 3 x x = lim x → 0 - ⁡ 2 x + 1 x 2 x - 3 = 0 + ( - ∞ ) 0 - 3 = - ∞ - 3 = + ∞

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 x + 1 x 2 x 2 x - 3 x x = lim x → 0 + ⁡ 2 x + 1 x 2 x - 3 = 0 + ∞ 0 - 3 = ∞ - 3 = - ∞

Portanto, x = 0 é assíntota vertical.

Agora vamos ver x = 3 2 .

lim x → 3 2 - ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → 3 2 - ⁡ 2 x 2 + 1 x ( 2 x - 3 ) = 9 2 + 1 3 2 ( 0 - ) = - ∞

lim x → 3 2 + ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → 3 2 + ⁡ 2 x 2 + 1 x ( 2 x - 3 ) = 9 2 + 1 3 2 ( 0 + ) = + ∞

Então x = 3 2 também é assíntota vertical.

Passo 3

Agora vamos as assíntotas horizontais.

l i m x → - ∞ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = l i m x → - ∞ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 2 x 2 x 2 - 3 x x 2 = l i m x → - ∞ 2 + 1 x 2 2 - 3 x = 2 + 0 2 - 0 = 2 2 = 1

l i m x → + ∞ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = l i m x → + ∞ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 2 x 2 x 2 - 3 x x 2 = l i m x → + ∞ 2 + 1 x 2 2 - 3 x = 2 + 0 2 - 0 = 2 2 = 1

Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 1 .

Resposta

Verticais:

x = 0

x = 3 2

Horizontais:

y = 1

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