Sejam a e b números reais tais que a reta y = 7 é uma assíntota horizontal da função

f x = a x 4 + b x 2 + 5 - x 2 .

O valor de a + b é

a )   19

b )   17

c )   18

d )   16

e )   15

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora lá para outro problema dessa prova.

Esse problema traz o conceito de assíntota horizontal. Consegue lembrar o que deve ocorrer para um valor b ser uma assíntota horizontal? Para que isso ocorra é necessário que:

lim x → ∞ ⁡ f x = b

Ou seja, o que o enunciado nos diz é:

lim x → ∞ a x 4 + b x 2 + 5 - x 2 ⁡ = 7

Passo 2

Para resolver esse limite vamos usar uma ideia interessante de quando temos algo indo para infinito.

Se temos algo do tipo a x indo para infinito dando um número real, temos um problema, algo parecido quando temos a x com x indo para zero, igual na questão anterior.

Ou seja, nosso problema aqui é termos x indo para infinito multiplicando constantes. Algo interessante de fazer é usar o fato de a x   → 0 ,   quando x → ∞ . Para que isso ocorra temos que mudar a expressão de f para aparecer um denominador, uma forma inteligente de fazer isso é:

f x = f ( x ) a x 4 + b x 2 + 5 + x 2 a x 4 + b x 2 + 5 + x 2

A ideia de fazer isso é racionalizar o numerador e aparecer um denominador.

Passo 3

Então bora lá:

Queremos calcular:

l i m x → ∞ a x 4 + b x 2 + 5 - x 2 a x 4 + b x 2 + 5 + x 2 a x 4 + b x 2 + 5 + x 2

Usando a fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

Ou seja:

l i m x → ∞ a x 4 + b x 2 + 5 - x 4 a x 4 + b x 2 + 5 + x 2

Colocando x 2 em evidencia no denominador:

l i m x → ∞ a x 4 + b x 2 + 5 - x 4 x 2 ( a + b x 2 + 5 x 4 + 1 )

Ou seja, temos:

l i m x → ∞ a x 2 + b + 5 x 2 - x 2 ( a + b x 2 + 5 x 4 + 1 )

Analogamente: l i m x → ∞ x 2 ( a - 1 ) + b + 5 x 2 ( a + b x 2 + 5 x 4 + 1 )

Agora, veja que não podemos analisar x → ∞ pois no numerador iria para infinito, para que esse limite exista, precisamos que:

a - 1 = 0 ,     o u   s e j a   a = 1

Pois assim o numerador não depende de x e podemos analisar o limite.

l i m x → ∞ b + 5 x 2 ( 1 + b x 2 + 5 x 4 + 1 ) = 7

E olhando no limite, achamos que:

b ( 1 + 1 ) = 7     ∴ b = 14

E por isso, a + b = 14 + 1 = 15

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0