Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno – 3

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Passo 1

Antes de qualquer coisa vou analisar os dois termos (numerador e denominador) de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis.

x 2 - 5 x = x ( x - 5 )

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Podemos simplificar f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5 = x x - 1

Mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

lim x 1 - f x = lim x 1 - x x - 1 = 1 0

= -

lim x 1 + f x = lim x 1 + x x - 1 = 1 0

= +

Assíntota vertical em x = 1 .

OBS: Repara que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x 5 - f x = lim x 5 - x x - 1 = 5 4

lim x 5 + f x = lim x 5 + x x - 1 = 5 4

Passo 3

Vamos usar o limite de f ( x ) em x + e em x -

lim x + f x = lim x + x x - 1

= lim x + 1 1 - 1 x

= 1

lim x - f x = lim x - x x - 1

= lim x - 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1

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