Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais:

x 2 y - 2 x 2 - y - 2 = 0

Passo 1

Vamos escrever em forma de f x = y primeiro:

x 2 y - y = 2 x 2 + 2

y x 2 - 1 = 2 ( x 2 + 1 )

y = f x = 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Que fique claro, é bom analisar logo o domínio dessa função. Seu denominador não pode zerar, o que acontece em x = 1 e em x = - 1 . Seu domínio será, portanto:

D o m :   R - { 1 , - 1 }

Passo 2

Para ver assíntotas horizontais lançamos o limite para ± ∞ da função:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → + ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Agora para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → - ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Pelos resultados temos duas assíntotas horizontais de mesma equação, y = 2 .

Passo 3

Para assíntotas verticais temos que olhar para onde o domínio da função não está definido (nesse caso, em ± 1 ) e lançar os limites laterais ali:

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = + ∞  

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = + ∞

Feito isso, sabemos que temos assíntotas verticais em x = 1 e x = - 1

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s : x = 1   ; x = - 1

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 2

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