Considere a função f x = x e - x , definida em seu maior domínio possível.

a) Determine os limites no infinito e, caso existam, as assíntotas horizontais do gráfico de f .

Passo 1

Faaaala galera, tudo certinho com vocês?

Nessa questão nos foi dada a função:

f x = x e - x

E, precisamos calcular os seus limites no infinito, bem como suas assíntotas horizontais. Daí, se todo mundo tiver lembrado da definição de assíntota horizontal, vão se ligar que:

c é uma assíntota horizontal de f , se:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = c o u lim x → - ∞ ⁡ f x = c

Ou seja, a assíntota horizontal é exatamente o valor do limite da função no infinito (se esse limite for finito).

Sendo assim, vamos calcular o limite de f ( x ) para x → ± ∞ e aí verificamos se o resultado é um número finito, para analisar a assíntota horizontal.

Bora lá 😊

Passo 2

Começando com o limite quando x → + ∞ , temos:

lim x → ∞ ⁡ x e - x = lim x → ∞ ⁡ x e x

Quando x → ∞ , tanto o numerador quanto o denominador também vão pro infinito, e temos algo do tipo:

∞ ∞

Nesse caso, podemos usar o nosso querido amigo L’hopital. Segundo ele:

lim x → ∞ ⁡ x e x = lim x → ∞ ⁡ x ' ( e x ) '

Vamos então derivar o numerador e o denominador:

x ' = 1 e x ' = e x

Assim:

lim x → ∞ ⁡ x e x = lim x → ∞ ⁡ 1 e x

Agora sim, quando x → ∞ , temos que o denominador tende a infinito, enquanto o numerador permanece constante. Logo:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

Muito bom!

Passo 3

Vamo analisar agora o limite quando x →   - ∞ .

lim x → - ∞ ⁡ x e - x

Se fizermos x → - ∞ , teremos algo do tipo:

lim x → - ∞ ⁡ ( - ∞ ) e - ( - ∞ )

=   lim x → - ∞ ⁡ - ∞ e ∞

Ou seja, um número que tende ao infinito negativo, multiplicado por outro que tende ao infinito também. O resultado disso com certeza não é um número finito, assim podemos afirmar que:

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞

Ou seja, não existe.

Muito bom! Pensando então nas assíntotas horizontais, apenas o limite para x → + ∞ nos deu um valor finito. Logo, a única assíntota horizontal ocorre quando x → ∞ , onde a função tende a lim x → ∞ ⁡ x e x = 0 .

Prontinho! Matamos mais uma questãozinha. Vamo pra próxima 😊

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x e - x = 0

lim x → ∞ ⁡ x e - x =   - ∞   ( n ã o   e x i s t e )

assíntota horizontal em 0 quando x → + ∞ .

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Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0