1. Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

k. f x = co s s ec ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que determinar as assíntotas horizontais e verticais. Para quem não lembra como achá-las, é o seguinte:

- Para assíntotas horizontais: o que a gente faz aqui, basicamente, é achar o limite da função quando x vai pra ± ∞ . Se esse valor for um número, então ali temos umas assíntota.

- Para assíntotas verticais: vamos basicamente procurar valores de x que podem dar problema no domínio da função, então fazemos o limite de x indo para esse ponto onde o domínio não existe. Se o limite for para infinito, temos uma assíntota vertical.

Então bora lá!

Passo 2

Vamos começar pela assíntota vertical! Para isso vamos lembrar que:

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Lembrando que o denominador não pode zerar. Ou seja, são candidatos a assíntotas verticais, os pontos onde:

sen ⁡ x = 0

Como o seno zera em 0 ,   π ,   2 π ,   …

Logo, teremos que calcular os limites de x → n π . Onde n é um número inteiro.

Fazendo o limite:

lim x → nπ ⁡ 1 sen ⁡ x = ± ∞

Ou seja, temos assíntotas verticais em n π .

Passo 3

Para acharmos a assíntota horizontal da função cosseno, vamos fazer:

lim x → + ∞ ⁡ 1 sen ⁡ x

Repara que não conseguimos calcular este limite. Mas a gente pode usar uma informação sobre a função seno: ela é limitada entre - 1 e + 1 .

- 1 < sen ⁡ x < + 1

Ou seja, ela varia entre esses dois valores. Deste modo, podemos dizer que ela possui duas assíntotas horizontais, em:

y = - 1

y = + 1

Prontinho!

Passo 4

Uma forma de descobrir a assíntota horizontal da função cossecante é olhando o gráfico dela! Repara que a função nunca ultrapassa as linhas vermelhas:

Repara que marquei de azul tracejado, as nossas assíntotas verticais!

Resposta

Assintota horizontal: y = - 1 e y = + 1

Assuitota vertical: n π

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Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
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Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0