Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.

f x = 2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x

Passo 1

Eaeeee, belezinha???

Para as assíntotas horizontais, temos que verificar o limite quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Assim, vamos devagarinho aqui.

Para x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x

Podemos simplificar a expressão da seguinte forma:

2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x = 2 x 2 + x - 3 x 2 2 x 2 - x x 2 = 2 + 1 x - 3 x 2 2 - 1 x

Assim, temos o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 + 1 x - 3 x 2 2 - 1 x = 2 2 = 1

Agora vamos descobrir a outra!!

Passo 2

Para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ 2 + 1 x - 3 x 2 2 - 1 x

Podemos perceber que, para x → - ∞ , o resultado será o mesmo de quando x → + ∞ , ou seja:

lim x → - ∞ ⁡ 2 + 1 x - 3 x 2 2 - 1 x = 1

Agora vamos descobrir as assíntotas verticais!!

Passo 3

Para se ter uma assíntota vertical em x   =   a , algum dos limites laterais de f em a precisa ser ou - ∞ .

E, para nossa função, os pontos em que isso pode ocorrer são aqueles que zeram o denominador de f , ou seja, x = 0 e x = 1 2 .

Dessa forma, aplicando os limites laterais em x → 0 , temos:

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x = + ∞

E

lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x = - ∞

Assim, podemos que em x = 0 haverá uma assíntota vertical de f .

Passo 4

Por outro lado, para x → 1 2 , temos:

lim x → 1 2 + ⁡ 2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x = - ∞

E

lim x → 1 2 - ⁡ 2 x 2 + x - 3 2 x 2 - x = + ∞

Assim, podemos que em x = 1 2 haverá uma assíntota vertical de f .

Graficamente, temos:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Assíntota horizontal em f x = 1

Assíntotas verticais em x = 1 e em x = 1 2

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