Seja f x = x 2 - 9 x 2 - 4

(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar a existência de assíntotas horizontais e verticais na função. Para isso, a gente precisa lembrar que para encontrar assíntotas horizontais, vamos calcular os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinito:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R . Assim, se um ou dois limites resultarem em um valor finito b , ou seja, não explodirem para mais ou menos infinito, teremos uma assíntota horizontal em y = b .

Agora para encontrar possíveis assíntotas verticais, nós temos que achar valores de x que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela. Então, fazer os limites laterais da função com x tendendo aos valores problemáticos. Assim, se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite função f x = x 2 - 9 x 2 - 4 quando x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 9 x 2 - 4

Dividindo todo mundo por x 2 para fugir da indeterminação, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 9 x 2 1 - 4 x 2

Aplicando o limite para x tendendo a mais infinito:

1 - 0 1 - 0 = 1

De forma semelhante, vamos calcular o limite da função f x = x 2 - 9 x 2 - 4 quando x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 9 x 2 - 4

Dividindo todo mundo por x 2 para fugir da indeterminação e aplicando o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 9 x 2 1 - 4 x 2 = 1 - 0 1 - 0 = 1

Então, em y = 1 temos uma assíntota horizontal.

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha de novo na nossa função f x = x 2 - 9 x 2 - 4 e pensar nos valores que x não pode assumir. Nós sabemos que o denominador de uma fração não pode ser zero, então, temos:

x 2 - 4 ≠ 0

x 2 ≠ 4 → x ≠ ± 2

Então, esses vão ser nossos pontos problemáticos, x = 2 e x = - 2 . Calculando os limites laterais da função, quando x tende a esses valores, vamos ter:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 9 x 2 - 4 = - 5 ∞ = - ∞

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 9 x 2 - 4 = - 5 - ∞ = + ∞

Então, encontramos uma assíntota vertical em x = 2 na direção de + ∞ e - ∞ .

Da mesma forma, verificando os limites laterais para quando x → - 2 , temos:

lim x → - 2 + ⁡ x 2 - 9 x 2 - 4 = - 5 - ∞ = + ∞

lim x → - 2 - ⁡ x 2 - 9 x 2 - 4 = - 5 ∞ = - ∞

E temos mais uma assíntota vertical em x = - 2 , na direção de mais infinito e na direção de menos infinito.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l → y = 1

A s s í n t o t a s   v e r t i c a i s → x = - 2   e   x = 2

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