Seja f x = x 2 - 1 x 2 + 1 .

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f e os seus pontos de máximo/mínimo locais.
  2. Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos fazer devagarinho essa questão... começando pela letra (a)!!

Vamos primeiro derivar a função (fazendo pela regra do quociente ein?!), desse jeitinho aqui:

f ' x = x 2 - 1 ' x 2 + 1 - ( x 2 - 1 ) ( x 2 + 1 ) ' x 2 + 1 2 = 4 x x 2 + 1 2

Para encontrar os pontos críticos, fazemos f ' x = 0 :

4 x x 2 + 1 2 = 0 ∴ x = 0

Assim, pelo Teste de Crescimento/Decrescimento, podemos concluir que:

  • Para f ' > 0 , x > 0 (logo, f é crescente);
  • Para f ' < 0 , x < 0 (logo, f é decrescente)

E, olhando o único ponto crítico, percebemos que seu sinal muda de negativo para positivo, fazendo que seja um ponto de mínimo local!!

Passo 2

Na letra (b) temos primeiro que calcular a derivada segunda, ou seja:

f ' ' x = f ' x ' = 4 x ' x 2 + 1 2 - 4 x x 2 + 1 2 ' x 2 + 1 4 ∴

f ' ' x = 4 x 2 + 1 2 - 4 x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ' x 2 + 1 4 ∴

f ' ' x = 4 x 2 + 1 - 16 x 2 x 2 + 1 3 ∴

f ' ' x = 4 ( - 3 x 2 + 1 ) x 2 + 1 3

Assim, sabemos que f ' ' x = 0 apenas quando - 3 x 2 + 1 = 0 ∴ x = ± 1 3

Além disso, podemos concluir que:

  • - 3 x 2 + 1 > 0 no intervalo - 1 3 ,   1 3   , fazendo f côncava para cima;
  • - 3 x 2 + 1 < 0 nos intervalos - ∞ , -   1 3   e 1 3 , + ∞   , fazendo f côncava para baixo.

Para os pontos de inflexão ( ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal), podemos ver que ocorre quando:

  • - 1 3 ,   f - 1 3 ∴ - 1 3 ,   - 1 2 ;
  • 1 3 ,   f 1 3 ∴ 1 3 , - 1 2 .

Passo 3

Para a letra (c), vemos que f ( x ) não possui assíntota vertical pois a função é contínua em todo o R .

Por outro lado, podemos aplicar L’Hospital para verificar se há assíntota horizontal:

lim x → ± ∞ ⁡ ( x 2 - 1 ) ' ( x 2 + 1 ) ' = lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

Assim, há uma assíntota horizontal em f x = 1 quando x → + ∞ e quando x → - ∞ .

Passo 4

Por fim, para a letra (d) podemos plotar o gráfico da função:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
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