Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

x x 2 - 4

Passo 1

As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto de pontos “problemáticos” da função, lembra? Esses pontos problemáticos são justamente os pontos de descontinuidade. No caso da função dada, a única restrição que temos que analisar é quando o denominador da fração é zero. Isso ocorre quando:

x 2 - 4 = 0

x 2 - 4 = 0

x = ± 2

Então, como queremos achar as assíntotas verticais da função, vamos ver os limites quando x tende a ± 2 .

Passo 2

Começando com o x tendendo a - 2 .

lim x → - 2 x x 2 - 4 ⁡ = - 2 0 + = - ∞

Então x = - 2 é uma assíntota vertical. Agora vamos para para x tendendo a 2 .

lim x → 2 x x 2 - 4 ⁡ = 2 0 + = + ∞

Show! x = 2 também é assíntota vertical!

Passo 3

Agora vamos ver as assíntotas horizontais, aquelas que ocorrem com x tendendo a ± ∞ .

Começando com - ∞ .

l i m x → - ∞ x x 2 - 4

Pra resolver esse limite vamos usar aquele artificio de botar o termo de maior grau em evidencia e tirar o que pudermos da raiz.

l i m x → - ∞ x x 2 - 4 = l i m x → - ∞ x x 2 1 - 4 x 2 = l i m x → - ∞ x x 1 - 4 x 2

Agora podemos cortar o x de baixo com o de cima. Lembrando que, como o limite está tendendo para - ∞ , o x de cima será negativo. O de baixo positivo, pois foi tirado da raiz.

l i m x → - ∞ - 1 1 - 4 x 2

Note que quando x tende a - ∞ o termo 4 x ² tende a 0 . Então:

- 1 1 - 0 = - 1 1 = - 1

Portanto, há uma assíntota horizontal em y = - 1 .

Agora faremos o mesmo para + ∞ .

l i m x → ∞ x x 2 - 4 = l i m x → + ∞ 1 1 - 4 x 2 = 1 1 - 0 = 1 1 = 1

Achamos outra assíntota horizontal, que é a reta y = 1 .

Resposta

Verticais:

x = - 2

x = 2

Horizontais:

y = - 1

y = 1

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