Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Questão 3: Seja f : R → R dada por

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

b) Encontre a assíntota horizontal de f quando x → ∞ . Existe assíntota vertical em algum ponto?

Passo 1

Bem, o problema já indicou que existe assíntota horizontal. O seu método de calcular é justamente aplicando um limite no infinito. No caso temos que avaliar nos dois infinitos, um positivo e o outro negativo...

lim x → + ∞ ⁡ f x   e   lim x → - ∞ ⁡ f x

Passo 2

Vamos começar pelo infinito positivo

lim x → + ∞ ⁡ f x

Como estamos no lado positivo e indo para o infinito (então maior que 1 ) usamos a primeira expressão de f ...

lim x → + ∞ ⁡ - 6 x - 3 x - 2 =

Dividindo em cima e em baixo por x ...

lim x → + ∞ ⁡ - 6 x - 3 x x - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ - 6 - 3 x 1 - 2 x

Quando x cresce muuuuuito, essas frações vão a 0 ...

lim x → + ∞ ⁡ - 6 - 3 x 1 - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ - 6 - 0 1 - 0 = - 6

Então, já encontramos uma assíntota horizontal: f x = - 6

Passo 3

Vamos averiguar agora para o lado do infinito negativo.

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como estamos no lado negativo e diminuindo cada vez mais, a função é a segunda expressão...

lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 = - ∞

Portanto não tem assíntota desse lado e a única horizontal é a f x = - 6 mesmo.

Passo 4

A segunda pergunta desse item, foi se existe uma assíntota vertical em algum ponto, e a melhor resposta por hora é: pode existir. Afinal essa assíntota ela depende de algum ponto de x que possivelmente tenha problema.

Se você observar a função f novamente...

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

Repare que o único ponto de x que pode dar problema é em x = 2 , pois aí a função tem uma divisão por 0 . Então x = 2 é uma provável assíntota vertical. Vamos averiguar!

Passo 5

Primeiro pela direita dele

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ - 6 x - 3 x - 2

Repare que o numerador está tendendo a um número, e o denominador a 0 pelos positivos, como tem um sinal de na frente, a função está tendendo ao infinito negativo...

lim x → 2 + ⁡ - 6 x - 3 x - 2 = - ∞

Então nem precisa averiguar o outro lado não, x = 2 é uma assíntota vertical ;)

Resposta

Assíntota horizontal:

f x = - 6

Existe assíntota na vertical em x = 2 .

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