Considerando a função

q ( x )   =   x 2   +   1 2 - x

definida para x   ≠   2   , resolva os itens abaixo.

(a) Calcule os limites no infinito da função q   e, em seguida, determine a(s) assíntota(s)

horizontal(is) do gráfico da função q , se esta(s) existir(em).

(b) Calcule os limites laterais de q no ponto x   =   2   e, em seguida, determine a(s)

assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função q , se esta(s) existir(em).

(c) Faça um esboço do gráfico de q .

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa é bem bacana, pois iremos trabalhar nossas habilidades de desenhar um gráfico.

Mão na massa!!!

Passo 2

Vamos começar fazendo a letra a). Para essa letra, nosso objetivo é obter os limites de q no infinito e suas assíntotas verticais.

Vamos começar calculando os limites nos infinitos, isto é, queremos saber quem são

l i m x → ∞   q ( x ) e l i m x → - ∞   q ( x )

Como vamos fazer isso? o que vocês acham?

vamos tentar reescrever nossa q de uma forma esperta

q ( x )   =   x 2   +   1 2 - x

(colocando x em evidência)

=   x 2 ( 1   +   1 / x 2 ) x ( 2 / x   -   1 )

(tirando da raiz)

=   | x | ( 1   +   1 / x 2 ) x ( 2 / x   -   1 )

=   s i n a l ( x ) * ( 1   +   1 / x 2 ) ( 2 / x   -   1 )

agora podemos aplicar os limites

l i m x → ∞   q ( x ) = l i m x → ∞     s i n a l ( x ) ( 1   +   1 / x 2 ) ( 2 / x   -   1 )

(pois 1/x é decrescente)

= ( 1   +   0 ) ( 0   -   1 )

= - 1

e temos que

l i m x → - ∞   q ( x ) = l i m x → - ∞     x 2 ( 1   +   1 / x 2 ) x ( 2 / x   -   1 )

= l i m x → - ∞   | x | ( 1   +   1 / x 2 ) x ( 2 / x   -   1 )

(pois 1/x é decrescente)

= - ( 1   +   0 ) ( 0   -   1 )

= 1

Então nossos limites no infinito são iguais a 1 e -1.

Logo, nossas assíntotas horizontais são as retas, y = 1   e   y = - 1

Passo 3

Vamos fazer a letra b). Precisamos calcular as assíntotas verticais. Como as calculamos?Vocês lembram?

As assíntotas verticais são as retas da forma x = c com c constante tal que o valor da função naquele ponto explode, isto é, é mais ou menos infinito, ou “os dois”. Que ocorre quando temos uma “divisão por zero”

No caso da nossa função q ( x ) o valor de x para o qual ele “explode” ocorre quando x   = 2 , pois para esse valor o denominador da função é ZERO

Então vamos calcular os limites laterais entorno do ponto x   =   2 , esses limites são definidos como:

l i m x → 2 +   q ( x ) e l i m x → 2 -   q ( x )

Vamos começar pelo primeiro limite:

Bem, como no ponto x   =   2 Já sabemos que a função vai “explodir”, a única coisa que precisamos obter é a direção, isto é, se vai para mais infinito ou menos infinito.

então, para x → 2 + o sinal da nossa q fica:

q ( x )   =   x 2   +   1 2 - x

então

s i n a l ( x 2   +   1 2 - x )   =   s i n a l ( x 2   +   1 ) s i n a l ( 2 - x )

para x > 2

s i n a l ( x 2   +   1 ) s i n a l ( 2 - x )   =   -

então

l i m x → 2 +   q ( x ) =   +   ∞

de forma análoga obtemos obtemos que para x → 2 - o sinal da nossa q fica:

s i n a l ( x 2   +   1 2 - x )   =   s i n a l ( x 2   +   1 ) s i n a l ( 2 - x )

para x < 2

s i n a l ( x 2   +   1 ) s i n a l ( 2 - x )   =   +

então

l i m x → 2 +   q ( x ) =   +   ∞

prontinho para finalizar a questão só precisamos desenhar o gráfico de q ( x )

Passo 4

Na última letra, precisamos esboçar o gráfico de q , mas essa tarefa é bem mais fácil, pois já calculamos as assíntotas verticais e horizontais de q . Então só falta verificamos se q tem alguma raiz real.

x 2   +   1 2 - x   =   0

⇔ x 2 + 1   =   0

⇔   x 2   =   - 1

Logo q não tem raízes reais, o que implica que seu gráfico não corta o eixo x . Então o gráfico de q fica da seguinte forma:

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0