Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = sen ⁡ 3 x x ,     s e   x ≠ 0 5 ,     s e   x = 0

Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 0 ela vale 5 , mas para x ≠ 0 , ela vale a seguinte função:

sen ⁡ 3 x x

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x ≠ 0 . Com isso, a gente conclui que ele está definido exclusivamente numa região em que ele existe, sem descontinuidades! Não teremos assíntotas verticais, portanto, em x ≠ 0 .

Passo 2

Agora, em x = 0 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ 3 x x       ;       lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 3 x x

Repara, ambos se resolvem pelo limite fundamental, já que:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x 3 3 = 3 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x

= 3 1 = 3

Enfim, a conclusão é que, por mais que os limites laterais (que valem 3 ) não batam com o valor de f no ponto (que é 5 ), eles não explodem para ± ∞ , não gerando assíntotas verticais.

Passo 3

Caçamos as assíntotas horizontais jogando os limites para x → ± ∞ . Começamos fazendo o x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = sen ⁡ ∞ ∞

O jeito de resolver esse cara é usar o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ sen ⁡ 3 x ≤ 1

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = 0

Pelo mesmo raciocínio, encontraremos:

- 1 ≤ sen ⁡ 3 x ≤ 1

lim x → - ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ≤ lim x → - ∞ ⁡ 1 x

lim x → - ∞ ⁡ - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = 0

Achamos a mesma assíntota horizontal para os dois lados, y = 0 .

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   -

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

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