Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Determine o valor de c para que a função f : I R → I R definida por

f x = e x x + c   ,     s e   x ≤ 0 1 x + c 2   ,     s e   x > 0

Seja continua. Para os valores de c achados:

  1. f possui assíntotas horizontais quando x →   + ∞ ?
  2. f possui assíntotas verticais?

Passo 1

Simbora. A questão quer saber da continuidade da função. A primeira coisa que devemos observar é que:

e x x + c

É contínuo em todo o intervalo x < 0 , independente de quem seja o c , beleza? Agora, olhando pra outra lei de formação:

1 x + c 2

Só tem um jeito de isso não ser contínuo no intervalo x > 0 : se x = - c . Nesse caso, teríamos uma divisão por 0 ! Aí não dá né. Agora, se:

x > 0

x = - c

Então

- c > 0

c < 0

Po, já tiramos uma condição importante sobre o valor de c : ele necessariamente tem que ser positivo. Caso contrário, a função 1 x + c 2 não vai ser contínua em x > 0 .

Show de bola, já vimos a continuidade em x < 0 e em x > 0 . Mas e pra x = 0 ? Pra vermos a continuidade nesse ponto, que é onde a lei de formação muda, precisa ser verdade a igualdade abaixo:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

Então partiu calcular cada um desses termos

Passo 2

Calculando f 0 e lim x → 0 - ⁡ f x

Bem, a função como é definida por partes tem duas leis de formação. Qual usar em cada caso vai depender. Pelo enunciado, a gente consegue ver que:

f x = e x x + c   ,     s e   x ≤ 0

Então é essa lei de formação mesmo que vamos usar pra f 0 . Sem mais delongas, bora pras contas:

f 0 = e 0 0 + c

f 0 = c

Agora, pra calcular lim x → 0 - ⁡ f x a gente tem que pensar da mesma forma, beleza? Como x → - 0 - significa tendendo a 0 por valores menores que 0 , a lei de formação que vamos usar vai ser a mesma! Sendo assim:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ e x x + c = e 0 0 + c = c

Perfeito, parte da questão tá feita! Provamos que:

lim x → 0 - ⁡ f x = f 0 = c

Passo 3

Calculando lim x → 0 + ⁡ f x

Só agora que a gente vai precisar trocar de lei de formação. Porque? Bem, agora o limite vai ser pra x → 0 + , ou seja, pra x tendendo a 0 por valores maiores que 0 , ou seja pra x > 0 . Vamos ter então:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ 1 x + c 2 =

1 0 + c 2 = 1 c 2

O limite vai ser então:

lim x → 0 + ⁡ f x = 1 c 2

Passo 4

Juntando tudo

Agora que calculamos os dois limites e f 0 também, aplicando à condição de continuidade, vamos ter que:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

c = 1 c 2 = c

Agora é só achar c e partir pro abraço. Vamos lá:

1 c 2 = c

c 3 = 1

c = 1

E olha só! O resultado já satisfez a condição c > 0 que vimos! A função vai ser então:

f x = e x x + 1   ,     s e   x ≤ 0 1 x + 1 2   ,     s e   x > 0

Passo 5

Falando de assíntotas

Falta agora só a gente responder a letra a e a letra b pra fechar a questão, então bora lá. Pra começar, vamos ver a assíntota horizontal que a questão pede. Como ela pede pra x → + ∞ , fazemos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 1 2 = 1 + ∞ = 0

Então essa função tem sim uma assíntota horizontal, e ela é y = 0 . Agora, quando a gente fala de assíntotas verticais, a gente precisa de uma descontinuidade primeiro. Como já fechamos com c = 1 , nossa f x é completamente contínua! Logo, sem assíntotas verticais por aqui 😉

Resposta

c = 1

A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l → y = 0

S e m   a s s í n t o t a   v e r t i c a l

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