Determine todas as assíntotas das funções abaixo:

  1. g(x) = 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo?? Seguinte, nós vamos estudar as assíntotas verticais e horizontais de funções, ou seja, retas no formato y = c (horizontais) ou x = c (verticais) de prolongamento infinito que apenas tendem a tocar a nossa função. Vamos entender melhor essas ideias no desenvolver do problema.

Primeiro, precisamos entender que uma assíntota vertical ocorre quando temos uma reta x = c tal que ela tende a valores infinitos de y e se aproxima cada vez mais da nossa função, mas não a toca.

No nosso exemplo, temos uma função racional, que é contínua em seu domínio; no entanto, o domínio de uma função desse tipo não necessariamente vai estar contido em todos os reais, visto que podemos ter valores de x que zerem o denominador. Nesse momento, quando x tende cada vez mais à raiz do denominador, temos que y de fato de aproxima de infinito, caracterizando uma assíntota vertical.

Portanto, precisamos apenas analisar o denominador e achar sua raiz, ou raízes:

g(x) = 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Denominador:

2 x 2 - 3 x = 0

x 2 x - 3 = 0

  1. x = 0
  2. x ≠ 0

2x – 3 = 0 ∴ x = 3 2

Logo, nossas assíntotas verticais são x   =   0 e x = 3 2

Passo 2

Sobre as assíntotas verticais, podemos entender que elas são retas que se prolongam infinitamente aos valores mais e menos infinito de x. Logo, podemos estudar o limite de y tendendo a mais infinito e o limite de y tendendo a menos infinito para acharmos essas assíntotas. Ah, mais uma coisa:

Vamos usar a propriedade que estabelece o seguinte: limites de funções racionais tendendo ao infinito podem ser feitos considerando a razão entre apenas os termos de maior grau dos polinômios localizados no numerador e denominador.

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 2 x 2 = 1

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 2 x 2 = 1

Logo, temos apenas a assíntota horizontal y = 1

E é isso, finalizamos 😊

Resposta

a) Verticais: x   =   0 e x   =   3 / 2 , Horizontais: y   =   1

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0