Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função abaixo, se existi- rem. Caso não existam, justifique sua resposta.

f x = x - 1 x 2 - 1

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos primeiro observar que podemos entender a função da seguinte forma:

f x = x - 1 x 2 - 1 = x - 1 ( x - 1 ) ( x + 1 )

Ou seeeja:

f x = x - 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 x + 1 ,   s e   x > 1 - 1 x + 1 ,   s e   x < 1   e   x ≠ - 1

Passo 2

Para as assíntotas horizontais, temos que verificar o limite quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Assim, vamos devagarinho aqui.

Para x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 1 = 0

Logo, f x = 0 é a assíntota horizontal!

Agora vamos descobrir a outra!!

Passo 3

Para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ - 1 x + 1 = 0

Logo, f x = 0 é a assíntota horizontal!

Agora vamos descobrir as assíntotas verticais!!

Passo 4

Para se ter uma assíntota vertical em x   =   a , algum dos limites laterais de f em a precisa ser ou - ∞ .

E, para nossa função, os pontos em que isso pode ocorrer são aqueles que zeram o denominador de f , ou seja, x = - 1 e x = 1 .

Dessa forma, aplicando os limites laterais em x → - 1 , temos:

lim x → - 1 + ⁡ x - 1 x 2 - 1 = - ∞

E

lim x → - 1 - ⁡ x - 1 x 2 - 1 = + ∞

Assim, podemos que em x = - 1 haverá uma assíntota vertical de f ( x ) .

Passo 5

Por outro lado, para x → 1 , temos:

lim x → 1 + ⁡ x - 1 x 2 - 1 = 1 2

E

lim x → 1 - ⁡ x - 1 x 2 - 1 = - 1 2

Assim, nesse caso aqui não terá assíntota vertical.

Graficamente, temos:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Assíntota horizontal em f x = 0

Assíntota vertical em x = - 1

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