Seja f x = x - 2 e x .

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f e os seus pontos de máximo/mínimo locais.
  2. Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos fazer devagarinho essa questão... começando pela letra (a)!!

Vamos primeiro derivar a função, desse jeitinho aqui:

f ' ( x ) = x - 2 e x + e x = e x x - 1

Para encontrar os pontos críticos, fazemos f ' x = 0 :

e x x - 1 = 0 ∴ x = 1

Analisando esse único ponto crítico, podemos determinar o crescimento e decrescimento da função através de ( x - 1 ) cuja raiz é 1 . Assim, temos que:

f ' x < 0   p a r a   x ∈ - ∞ ,   1 ⇒ f x é decrescente em ( - ∞ ,   1 )

E que

f ' x > 0   p a r a   x ∈ 1 , ∞ ⇒ f x é crescente em 1 , ∞

Para mais, pelo teste da derivada primeira é possível afirmar que f 1 = - e (mínimo local que também é global por s[o ter um ponto crítico haha)

Passo 2

Na letra (b) temos primeiro que calcular a derivada segunda, ou seja:

f ' ' x = f ' x ' = e x x - 1 + e x = e x x

Analisando x (que tem raiz 0 ) do produto (já que e x é sempre crescente), temos que:

f ' ' x < 0 para x ∈ - ∞ , 0 ⇒ côncava para baixo

E que

f ' ' x > 0 para x ∈ 0 ,   ∞ ⇒ côncava para cima

E, os pontos de inflexão são dados pela mudança de concavidade, ou seja:

0 ,   f 0 = ( 0 , - 2 )

Passo 3

Para a letra (c), vemos que f ( x ) não possui assíntota vertical pois a função é contínua em todo o R .

Logo, a assíntota horizontal é dada por:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

E

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x - 2 e - x

Aplicando L’Hospital, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x - 2 ' ( e - x ) ' = lim x → - ∞ ⁡ 1 - e - x = 0

Logo, a única assíntota ocorre quando f ( x ) = 0 .

Passo 4

Por fim, para a letra (d) podemos plotar o gráfico da função mostrando a assíntota, o ponto mínimo, ponto de inflexão e concavidade:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
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