12) Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 3 x x - 1

Passo 1

Eaii, todo mundo animado pra dar o gás nas questões de assíntotas? Vamo lá!!

A questão está pedindo pra gente determinar as assíntotas verticais e horizontais de f ( x ) . Então vamos relembrar o que é assíntota.

As assíntotas são retas que tangenciam o gráfico em infinitos valores de x ou de y . Tipo assim, sabe quando você desenha um gráfico e percebe que ele fica se aproximando de zero quando x → + ∞ só que nunca alcança o zero mesmo? Temos aí uma assíntota horizontal.

A assíntota vertical é como o gráfico da t g ( x ) , que em x =   π / 2 a função não é definida, mas o gráfico tende a ±   ∞ .

Passo 2

Beleza, agora que a gente já sabe o que são assíntotas, bora ver como é que determinamos elas. Temos que dividir em duas partes, primeiro vamos procurar as assíntotas horizontais.

Sempre que queremos calcular assíntotas horizontais precisamos calcular dois limites:

lim x →   - ∞ ⁡ f ( x ) e lim x → + ∞ ⁡ f ( x )

Se pelo menos um deles assumir um valor finito, então teremos uma assíntota horizontal. Então, mãos à obra:

lim x → - ∞ ⁡ 3 x x - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 3 1 - 1 x = 3

Opaa, já temos então uma primeira assíntota horizontal, pois quando x →   - ∞ , f x → 3 . Ou seja, f se aproxima bem muito de y = 3 , mas nunca assume esse valor. Logo, y = 3 é assíntota horizontal de f .

Vamos pro segundo limite então:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 3 1 - 1 x = 3

Tá aí, mais uma assíntota horizontal, que também é em y = 3 . Sacou a ideia das assíntotas horizontais? Vamos para as assíntotas verticais!

Passo 3

Aqui a ideia é procurarmos pontos do domínio da função que podem causar alguma indeterminação matemática. As mais comuns acontecem quando a função é formada por um quociente e para um certo valor de x estamos dividindo por zero (o que não pode né?!). Vamos olhar pra f ( x ) .

f x = 3 x x - 1

Não queremos que o denominador seja nulo, então:

x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

Opa, x não pode ser igual a 1. Vamos ver então o que ocorre com os limites laterais nesse ponto:

lim x → 1 - ⁡ 3 x x - 1 =   - ∞

lim x → 1 + ⁡ 3 x x - 1 =   + ∞

Ou seja, quando x → 1 , do lado esquerdo o gráfico tende a - ∞ e do lado direito tende a + ∞ . Portanto, x = 1 é, de fato, uma assíntota vertical 😊

Prontinho, descobrimos as assíntotas horizontais e verticais de f ( x ) .

Resposta

Assíntota horizontal: y = 3

Assíntota vertical: x = 1

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