3. Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções

j. f x = 16 - x 2 3 4 - x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para quem não lembra, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Para achar a assíntota horizontal, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito.

Já para achar a assíntota vertical, vamos basicamente procurar valores onde pode dar problema no nosso domínio, calcular o limite nesse ponto e ver se ele vai para o infinito.

Agora vamos achar cada assíntota. Começando pela horizontal!

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, para achar assíntota horizontal temos que fazer x → ± ∞ . Então primeiro vamos fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ 16 - x 2 3 4 - x = ∞ ∞

Dá vontade de dizer que isso vai para 1 , mas temos que lembrar é um número muuuuuuuito grande que não está definido. Então o que temos é uma indeterminação.

Galerinha, sempre que a gente tiver uma divisão de polinômios que vai gerar uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , a dica é: colocar o x n (onde n é o maior grau) em evidência.

Neste caso, fica assim:

lim x → ± ∞ ⁡ 16 - x 2 3 4 - x = lim x → ± ∞ ⁡ x 16 x 3 - 1 x 3 x 4 x - 1

Simplificando e calculando o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ 16 x 3 - 1 x 3 4 x - 1 = 0 - 0 0 - 1 = 0

Opaaa, temos então uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 3

Para achar a assíntota vertical, temos que procurar onde dá problema no domínio. E aqui temos uma função que é uma divisão, e lembra que o denominador não pode zerar?

Então a nossa função não existe quando,

4 - x = 0

x = + 4

Opaaa, então o ponto candidato vertical é x = + 4 . Agora vamos para o limite!

Passo 4

Calculabdo por x → + 4

lim x → + 4 ⁡ 16 - x 2 3 4 - x = 0 0

Opaaa, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 , mas reescrever essa função e encontrar esse limite!

lim x → + 4 ⁡ 16 - x 2 3 4 - x = lim x → + 4 ⁡ 4 - x 4 + x 3 4 - x

Simplificando,

= lim x → + 4 ⁡ 4 + x 4 - x 2 3 = 16 0 3 = ± ∞

Logo, temos uma assíntota vertical em x = + 4

Resposta

Assintota horizontal: y = 0

Assintota vertical: x = + 4

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