6) Esboce o gráfico de f x = x x + 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

A ideia por trás dessa questão é bem simples.

Foi dada uma função f x e precisamos esboçar o seu gráfico.

Parece tranquilo? 😁

Perceba que quando x = - 1 a função não está definida já que o seu denominador vai pra 0 . Dessa forma podemos calcular os valores da imagem de alguns pontos e uni-los para esboçar o gráfico.

Entendeu? Bora lá! 😎

Passo 2

A ideia é estimar alguns valores para x , substituir na função e verificar o valor que a função resulta...

Como em x = - 1 vimos que a função é indefinida, então vamos analisar as proximidades desse ponto depois.

Começando pelos pontos x = 10 , x = 5 , x = 2 , x = 0 e x = - 1 2

Substituindo cada um em f x = x x + 1 ...

Agora vamos ver como a função se comporta para valores abaixo de - 1 .

Por exemplo em x = - 10 , x = - 5 , x = - 2 e x = - 3 2 .

Entendeu essa parte? 👍

Passo 3

Agora vamos analisar a região infinitesimalmente próximo de x = - 1 .

Se simplesmente substituirmos x por - 1 em f x , vamos obter

f - 1 = - 1 - 1 + 1 = - 1 0

Como sabemos, não podemos dividir por 0 , então vamos encontrar uma maneira de aproximar a imagem da função nesse ponto.

Pra isso, podemos usar o limite da função, não é? O que o limite de uma função nos resulta?

Quando calculamos o limite de uma função, estamos calculando o valor que a função tende a assumir em um ponto de análise...

lim x → - 1 ⁡ x x + 1

Usando as aproximações em x = - 1 , qual é o nosso limite quando x tende a - 1 a esquerda (valores infinitesimalmente menores que - 1 )?

O numerador vai tender a - 1 e o denominador vai tender a 0 mas com valores negativos.

Por exemplo em x = - 0,999

- 0,999 - 0,999 + 1 = 0,999 0,001 = 0,999 1 1000 = 999

Perceba como o numerador é muito maior que o denominador, o que faz com que o resultado aumente com uma grande velocidade. No exemplo de x = - 0,999 , a função tende a 999 , ou seja, se continuarmos a nossa aproximação vamos ver que f x tende ao infinito quando x se aproxima de - 1 pela esquerda! Logo

lim x → - 1 - ⁡ x x + 1 = ∞

Como em x = - 3 2 a função era 3 já em um intervalo muito curto de valores próximos a - 1 pela esquerda vemos que a função cresceu muito rapidamente, podemos dizer que a função tende ao infinito.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Mas e pra valores infinitesimalmente maiores que - 1 , será que o comportamento é o mesmo?

Fazendo x tendendo a - 1 pela direita, por exemplo x = - 1,001 , temos

- 1,001 - 1,001 + 1 = - 1,001 0 , 001 = - 1,001 1 1000 = - 1001

Perceba que agora a função assume grandes valores, mas negativos. Então podemos dizer que

lim x → - 1 + ⁡ x x + 1 = - ∞

Se em x = - 1 2 a função assumia valor - 1 e em valores próximos a - 1 pela direita a função já assumiu um valor muito baixo, então podemos dizer que a função tende a - ∞ pela direita.

Agora que já sabemos seu comportamento ao longo de x inclusive em x = - 1 , podemos esboçar seu gráfico.

Bonitinho, não é? 🤩

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0