Determine as assíntotas horizontais e verticais, se existir, do gráfico da função f x = 4 x 2 x 2 - 9 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar as assíntotas horizontais e verticais da função, que são retas das quais a curva da função se aproximam cada vez mais, sem tocá-las.

Pra determinar as assíntotas horizontais, nós vamos precisar calcular os limites:

l i m x → ∞ f ( x )

l i m x → - ∞ f ( x )

Se esses limites existirem, teremos nossas assíntotas horizontais.

E para as assíntotas verticais, vamos olhar para os valores que poderiam dar problema no nosso domínio (os valores que x não pode assumir) e calcular o limite pra quando x tende a esse valor tanto pela direita quanto pela esquerda:

l i m x → a - f ( x )

l i m x → a + f ( x )

Se esses limites forem iguais a ou - ∞ , teremos nossas assíntotas verticais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites de f ( x ) no infinito:

l i m x → ∞ f x = l i m x → ∞ 4 x 2 x 2 - 9

Vamos dividir todo mundo pela maior potência, que no caso é o x 2 :

l i m x → ∞ 4 x 2 x 2 - 9 = l i m x → ∞ 4 1 - 9 x 2

Quando x → ∞ , 9 x 2 → 0 , então:

l i m x → ∞ 4 1 - 9 x 2 = 4

Agora quando x → - ∞ , temos:

l i m x → - ∞ f x = l i m x → - ∞ 4 x 2 x 2 - 9

Resolvendo da mesma forma, obtemos:

l i m x → - ∞ 4 x 2 x 2 - 9 = 4

Então, a reta y = 4 é nossa assíntota horizontal.

Passo 3

Agora vamos verificar se existem assíntotas verticais olhando para as restrições do nosso domínio. Repare que para f x = 4 x 2 x 2 - 9 , x não pode ser igual a 3 ou igual a - 3 , porque isso zeraria o denominador. Então, vamos usar esses valores para calcular os limites laterais:

l i m x → 3 - f x = l i m x → 3 - 4 x 2 x 2 - 9

l i m x → 3 + f x = l i m x → 3 + 4 x 2 x 2 - 9

Vamos começar calculando o limite pela esquerda:

l i m x → 3 - 4 x 2 x 2 - 9

Dividindo todo mundo por x 2 :

l i m x → 3 - 4 1 - 9 x 2

Vamos analisar: quando x se aproxima de 3 pela esquerda, temos x < 3 , isso implica em um denominador negativo, 1 - 9 x 2 < 0 , que se aproxima de zero. Logo,

l i m x → 3 - 4 1 - 9 x 2 = 4 - ∞ = - ∞

Agora para l i m x → 3 + f x , temos:

l i m x → 3 + 4 x 2 x 2 - 9 = l i m x → 3 + 4 1 - 9 x 2

Quando x se aproxima de 3 pela direita, temos x > 3 , isso implica em um denominador positivo, 1 - 9 x 2 > 0 , que se aproxima de zero. Logo,

l i m x → 3 - 4 1 - 9 x 2 = 4 ∞ = ∞

Então, temos uma assíntota vertical em x = 3 .

Passo 4

Só falta a gente verificar quando x → - 3 . De forma semelhante ao passo 3 , temos:

l i m x → - 3 - f x = l i m x → - 3 - 4 x 2 x 2 - 9 = ∞

l i m x → - 3 + f x = l i m x → - 3 + 4 x 2 x 2 - 9 = - ∞

Portanto, temos uma assíntota vertical em x = - 3 também.

O gráfico da nossa função mostra todas as assíntotas que nós calculamos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 4 → a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l

x = 3   e   x = - 3 →   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

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