Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2019.1, Questão Q05

Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Passo 1

Bora lá começar então pelas assíntotas horizontais. Pra gente achar elas, basta fazer os limites:

lim x + f x

lim x - f x

E o que queremos, pra que a assíntota exista, é que o limite também exista! Fazendo as contas e já aproveitando pra manipular, colocando em evidência em cima e em baixo a maior potência de x , vamos ter:

lim x ± x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = lim x ± x 2 1 + 4 x + 2 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x ± 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2 =

lim x ± 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2 = 1 + 0 + 0 1 - 0 = 1

Perfeito! Chegamos a conclusão então que y = 1 é uma assíntota vertical

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Passo 2

Agora pra fechar a questão a gente parte pras verticais. Aqui é o contrário, vamos fazer os limites laterais pra valores x importantes e vamos querer que o limite não exista. Nesse caso, ai sim a assíntota vertical existe. Mas pra sacar quais valores de x vamos usar, olha bem a função:

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Pô, já viu dividir algo por zero? Não rola, né não? Então vamos fazer os limites laterais exatamente pros pontos que zeram o denominador de f x , isto é, x = ± 1 . Vamos ter:

lim x - 1 - x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = - 1 0 + = -

lim x - 1 + x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = - 1 0 - = +

E pra x = 1 :

lim x 1 - x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = 7 0 - = -

lim x 1 + x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = 7 0 + = +

E pronto! Fechou! Limites laterais não existem, logo as assíntotas x = ± 1 existem!

Resposta

Assíntota horizontal y = 1

Assíntotas verticais x = 1 e x = - 1

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