Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UFRJ, Cálculo 1, P1 - 2017.1, Questão ME1

1) Considere

f x = 7 x 3 + x 2 + 2 x + 3 4 x + 6 x 3

Sejam r a assíntota vertical e s a assíntota horizontal ao gráfico de y = f x . As retas r e s se interceptam no ponto a ,   b . Então 9 a + 4 b é igual a:

  1. 14 3
  2. 5
  3. 13 3
  4. 31 6

Passo 1

Repare que o a é a coordenada x do ponto de interseção entre as assíntotas, logo precisamos encontrar uma assíntota vertical onde x = a . Quanto ao ponto y = b , basta que encontremos a assíntota horizontal! Beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para averiguar a assíntota horizontal...

lim x + f x       e         lim x - f x

Vamos com o primeiro limite por enquanto...

lim x + f x = lim x + 7 x 3 + x 2 + 2 x + 3 4 x + 6 x 3 =

Dividindo em cima e em baixo por x 3 ...

lim x + 7 x 3 + x 2 + 2 x + 3 x 3 4 x + 6 x 3 x 3 = lim x + 7 x 3 x 3 + x 2 x 3 + 2 x x 3 + 3 x 3 4 x x 3 + 6 x 3 x 3 =

lim x + 7 + 1 x + 2 x 2 + 3 x 3 4 x 2 + 6 =

Quando x vai ao infinito esses caras com x embaixo, todos vão a z e r o ...

lim x + 7 + 0 + 0 + 0 0 + 6 = 7 6

Bem, já achamos uma assíntota horizontal, então nem precisamos verificar se existe outra! Não pode ter outra, se não o problema teria duas ou mais soluções, o que sabemos que não pode, por ser uma questão de múltipla escolha. Essa percepção pode te dar tempo ;)

y = 7 6 = b

Passo 3

Então agora verifiquemos a assíntota vertical. Aqui, precisamos encontrar pontos da função onde ela pode dar ruim, pois esses pontos serão os nossos candidatos a assíntotas verticais...

f x = 7 x 3 + x 2 + 2 x + 3 4 x + 6 x 3

Sabemos que o denominador não pode ser 0 ...

4 x + 6 x 3 = 0                 x 4 + 6 x 2 = 0    

A função 4 + 6 x 2 não pode ser zero para nenhum valor de x , pois o mínimo que pode acontecer é x = 0 e 4 + 6 x 2 = 4 , saca?

Então, o único candidato é x = 0 . Ele certamente será a assíntota vertical, pois só tem ele e tem que ter alguém. Então na prova você já pode falar que

x = a = 0

Mas para você verificar...

lim x 0 f x = lim x 0 7 x 3 + x 2 + 2 x + 3 4 x + 6 x 3

Como o numerador vai para um número diferente de 0 , essa fração tende ao ± , depende de que lado se aproxima, mas isso não importa muito, pois ela foi para o infinito, logo x = 0 é uma assíntota vertical de fato ;)

Passo 4

se b = 7 6 e a = 0 ...

9 a + 4 b =

14 3

Resposta

a )   14 3

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