Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UFF - Cálculo IA - P1 Humberto 2014.1 – 2 e

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = sen 3 x x ,     s e   x 0 5 ,     s e   x = 0

Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 0 ela vale 5 , mas para x 0 , ela vale a seguinte função:

sen 3 x x

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x 0 . Com isso, a gente conclui que ele está definido exclusivamente numa região em que ele existe, sem descontinuidades! Não teremos assíntotas verticais, portanto, em x 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, em x = 0 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x 0 + sen 3 x x       ;       lim x 0 - sen 3 x x

Repara, ambos se resolvem pelo limite fundamental, já que:

lim x 0 sen 3 x x = lim x 0 sen 3 x x 3 3 = 3 lim x 0 sen 3 x 3 x

= 3 1 = 3

Enfim, a conclusão é que, por mais que os limites laterais (que valem 3 ) não batam com o valor de f no ponto (que é 5 ), eles não explodem para ± , não gerando assíntotas verticais.

Passo 3

Caçamos as assíntotas horizontais jogando os limites para x ± . Começamos fazendo o x + :

lim x + sen 3 x x = sen

O jeito de resolver esse cara é usar o Teorema do Confronto:

- 1 sen 3 x 1

lim x + - 1 x lim x + sen 3 x x lim x + 1 x

lim x + - 1 x = lim x + 1 x = 0

lim x + sen 3 x x = 0

Pelo mesmo raciocínio, encontraremos:

- 1 sen 3 x 1

lim x - - 1 x lim x - sen 3 x x lim x - 1 x

lim x - - 1 x = lim x - 1 x = 0

lim x - sen 3 x x = 0

Achamos a mesma assíntota horizontal para os dois lados, y = 0 .

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   -

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

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