Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função f x = 6 x + 1 x - 1 .

Passo 1

Beleza pessoal, pra terminar essa prova a gente tem que lembrar das definições de assíntotas horizontais e verticais.

Primeiro vamos lembrar da aparência de cada uma delas:

A imagem já ajuda bastante a entender as definições: a assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = A l g u m   v a l o r   f i n i t o

E a assíntota vertical acontece nesse aqui:

lim x → Valor Finito ⁡ f x = ± ∞

Passo 2

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais, que geralmente são mais fáceis de encontrar.

É só calcular o limite quando x tende a mais/menos infinito. Começamos com + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 6 x + 1 x - 1

Isso é o limite da divisão de dois polinômios. O que a gente pode fazer nesses casos? Uma boa tentativa é dividir tudo pela maior potência.

Nesse caso a maior potência é x 1 = x , então vamos dividir por x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 6 x x + 1 x x x - 1 x = 6 + 1 x 1 - 1 x

Agora o que acontece quando x tende ao infinito?

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x

Quando x fica muito grande, aquelas duas frações vão tender a zero! Então:

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

E o resultado vai ser exatamente o mesmo com - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

Então a função tem assíntotas horizontais em y = 6 :

Passo 3

Agora vamos procurar as assíntotas verticais. Esse tipo de assíntota aparece quando a função “explode” para cima ou para baixo perto de algum ponto:

f x ⁡ = 6 x + 1 x - 1

Como que uma função pode explodir desse jeito? Bom, ou o numerador fica muito grande, ou o denominador fica muito pequeno.

O numerador só fica muito grande quando x tende ao infinito, mas a gente já viu que isso caiu numa assíntota horizontal.

Então como a gente pode fazer pro denominador ficar muito pequeno? Fácil! É só ver qual valor de x faz ele se aproximar de zero!

x - 1 = 0

x = 1

Passo 4

Mas pra provar mesmo que a gente tem uma assíntota nesse ponto, temos que calcular o limite:

lim x → 1 ⁡ 6 x + 1 x - 1

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - ⁡ 6 x + 1 x - 1 = - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

lim x → 1 + ⁡ 6 x + 1 x - 1 = + ∞

Beleza, provamos que a função tem assíntotas verticais em x = 1 .

Passo 5

Pra garantir que não vai sobrar dúvida, vamos fazer o gráfico da função, mostrando as assíntotas verticais em x = 1 e as horizontais em y = 6 :

Resposta

A função tem assíntotas horizontais em y = 6 , e assíntotas verticais em x = 1 .

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