Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 13, Questão 17

Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.

f x = e - x 2

Passo 1

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Resposta

Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.

Exemplo de assíntotas:

  • Para averiguar calcular as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o x = 1 :
  • E calculemos o limite de x tendendo a esse ponto. Se o limite for para o infinito, ela tem uma assíntota vertical, saca?

  • Para averiguar a assíntota horizontal, como no exemplo 2 ...

Calculemos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número... Esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o y = 5 )

Passo 2

Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...

f x = e - x 2 = 1 e x 2

Como não existe problema de definição, pois e x 2 é sempre positivo, não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Agora então, busquemos as assíntotas horizontais (se existirem). Para isso, basta a gente aplicar o limite de x no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?

lim x + 1 e x 2

Esse limite, quando x vai ao infinito positivo, a exponencial cresse rapidamente, levando a fração a 0

lim x + 1 e x 2 = 0

O mesmo acontece quando x vai para o infinito negativo (afinal o x 2 elimina o sinal como se tivéssemos o lado direito refletido)...

lim x - 1 e x 2 = 0

Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal ;)

Resposta

Assíntota horizontal: y = 0

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