Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 13, Questão 15

Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.

f x = e 1 / x

Passo 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.

Exemplo de assíntotas:

  • Para averiguar calcular as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o x = 1 :
  • E calculemos o limite de x tendendo a esse ponto. Se o limite for para o infinito, ela tem uma assíntota vertical, saca?

  • Para averiguar a assíntota horizontal, como no exemplo 2 ...

Calculemos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número... Esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o y = 5 )

Passo 2

Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...

f x = e 1 / x

Como o denominador ali no expoente não pode ser 0 ...

    x 0

Então x = 0 é o nosso ponto a averiguar (então averiguemos tanto do lado direito quanto do lado esquerdo)...

lim x 0 + e 1 / x

e também

lim x 0 - e 1 / x

Passo 3

Para resolver esses limites, apenas note que quando x vai para 0 pela direita...

lim x 0 + e 1 / x

1 / x vai para o infinito positivo e a exponencial também...

lim x 0 + e 1 / x = +

No caso do x tender ao 0 pela esquerda...

lim x 0 - e 1 / x

O 1 / x vai ao infinito negativo. Porém, o exponencial elevado a um cara negativo, desse...

lim x 0 - e 1 / x = lim x 0 + 1 e 1 / x

Fazendo esse cara a expandir para 0 , então:

lim x 0 - e 1 / x = 0

Repare que é de se ficar confuso neh? Por um lado o limite vai para o infinito indicando que o x = 0 é uma assíntota vertical, mas por outro não. Bem, como o x não se define no x = 0 , consideramos essa reta como assíntota ;)

Passo 4

Agora então, busquemos as assíntotas horizontais (se existirem). Para isso, basta a gente aplicar o limite de x no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?

lim x + e 1 / x

Esse limite, quando x vai ao infinito positivo, a exponencial basicamente vai a 1 (pois o expoente vai a z e r o ):

lim x + e 1 / x = 1

O mesmo acontece quando x vai para o infinito negativo....

lim x - e 1 / x = 1

Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal ;)

Resposta

Assíntota horizontal: y = 1

Assíntota vertical: x = 0

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