Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

USP, Cálculo 1, P1 - 2018, Questão ME03

Seja f : I R I R satisfazendo a seguinte propriedade

lim x - f x = 1

Então podemos afirmar que:

  1. Existe M > 0 tal que, para todo x I R , temos f x < M
  2. 1 / f x está definida para todo x < 0
  3. lim x + f x = 1
  4. Existe m > 0 tal que, para todo x < - m , vale f x > 0
  5. Existe m > 0 tal que, para todo x < - m , vale f x < 1

Passo 1

(a) Existe M > 0 tal que, para todo x I R , temos f x < M

Vamos analisar bem essa letra: Ela diz que o módulo da função é sempre menor que um valor M qualquer positivo. Mais na prática, o que isso quer dizer? Vamos lembrar direitinho o que é um módulo. Saca só:

f x = f x ,     s e   f x 0 - f x ,     s e   f x < 0

Se aplicarmos isso à inequação, vamos ter:

f x < M ,     s e   f x 0

f x > - M ,     s e   f x < 0

Ou seja, se f x < M , então:

- M < f x < M   ,     x I R

Uma função que satisfaz isso é f x = - tanh x e ainda satisfaz as condição do enunciado, dá uma olhada:

lim x - f x = 1

No entanto, é possível uma função ter o limite do enunciado e não necessariamente estar confinada entre M e - M . Quer ver? Dá uma olhada nesse exemplo da função f x = e x + 1 :

E olha só! O módulo dessa função é inclusive ela mesma, já que a função é sempre positiva! Essa função de fato satisfaz o limite imposto pelo enunciado e desmente a letra a que, vimos então, ser falsa.

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Passo 2

(b) 1 / f x está definida para todo x < 0

Vamos lá, próxima letra. Primeiro, vamos lembrar que 1 / f x significa a inversa de f x . Vamos estudar a f x primeiro então, com base no enunciado. Se o limite do enunciado é uma verdade:

lim x - f x = 1

Então f x está definido para todo x < 0 . Agora falando sobre funções inversas: elas possuem como contradomínio o domínio da função que a deu origem. Dá uma olhada nesse exemplo:

f x = x + 5

Onde A é o domínio de f e B é o contradomínio. Agora, pra sua inversa 1 / f x = x - 5 , temos:

Onde B é o domínio de 1 / f e A é o contradomínio de 1 / f . Show, em outras palavras então, pra 1 / f ter domínio incluindo valores negativos, o contradomínio de f tem que conter valores negativos também!

Buscamos então uma função que tenha o limite do enunciado e que assuma valores de f x < 0 . Um exemplo é a função f x = - e x + 1 , que tem inversa 1 / f x = ln 1 - x :

Mas saca só: o mesmo contraexemplo da letra a prova que a b também está errada! Veja, a função f x = e x + 1 satisfaz o limite do enunciado, mas por não existir nenhum valor de x que faça f x < 0 nesse caso, então a inversa não vai estar definida pra x < 0 ! Sendo a inversão dessa vez 1 / f x = ln x - 1 , temos:

Passo 3

(c) lim x + f x = 1

Aqui de novo a gente pode usar o exemplo da função f x = e x + 1 . Não é porque uma função tem uma assíntota pra x   - que necessariamente ela vai ter assíntota pra x + ou que, se tiver, vai ter o mesmo valor. Como mostrado na letra a , tanto f x = e x + 1 quanto f x = - tanh x são exemplos de funções que satisfazem o enunciado:

lim x - f x = 1

Mas a primeira não tem assíntota horizontal pra x + e a segunda função tem, mas é uma assíntota diferente de 1

Passo 4

(d) Existe m > 0 tal que, para todo x < - m , vale f x > 0

Agora o caso é o seguinte: queremos um x negativo qualquer em que a função f x seja positiva e que continue assim pra qualquer número menor que esse negativo. Veja bem, se o limite do enunciado:

lim x - f x = 1

É positivo para x - , então quer dizer que f x é de fato maior que 0 quando x é negativo! Mas isso talvez não valha para pra qualquer x , saca só esse exemplo:

f x =   - e x + 1 + 1

Nesse exemplo, temos que m = 1 . Mas mesmo que a função não corte o eixo x , não torna o enunciado inválido! Quer ver? Vamos pegar o mesmo exemplo que usamos várias vezes:

f x = e x + 1

Se eu escolher qualquer m que eu quiser, o enunciado continua verdade. Exemplos

m = 1 s e   x < - 1   ,   e n t ã o   f x > 0

m = 2 s e   x < - 2   ,   e n t ã o   f x > 0

m = 3 s e   x < - 3   ,   e n t ã o   f x > 0

E por aí vai. Então achamos nossa letra correta!

Passo 5

(e) Existe m > 0 tal que, para todo x < - m , vale f x < 1

Letra semelhante a anterior. Essa questão vai ser falsa porque ela implica que toda função que satisfaz o limite do enunciado:

lim x - f x = 1

Necessariamente tende à 1 de baixo pra cima, como é o caso do exemplo f x =   - e x + 1 + 1 . Maaas, como existe exemplos de f que tendem à 1 de cima pra baixo, como o caso do tão repetido exemplo f x = e x + 1 , essa letra vai ser então falsa!

Resposta

L e t r a   D

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