Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 – 3

Ache o comprimento do arco da curva 8 y = x 4 + 2 x - 2 do ponto x = 1 ao ponto x = 2 .

Passo 1

Bom, comprimento de arco é só ir direto para a fórmula:

a b 1 + f ' x 2 d x

f x = x 4 + 2 x - 2 8 f ' x = 4 x 3 - 4 x - 3 8 = x 3 - x - 3 2

Jogo na raiz para depois integrar.

1 + f ' x 2 = 1 + x 3 - x - 3 2 2 = 1 + x 6 - 2 + x - 6 4

1 + x 6 4 - 1 2 + x - 6 4 = x 6 4 + 1 2 + x - 6 4 = x 3 + x - 3 2 2

Repara que é o mesmo produto notável que eu abri no termo da derivada, só que com o sinal positivo no termo central. Assim,

a b 1 + f ' x 2 d x = a b x 3 + x - 3 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Meus limites de integração são a = 1 e b = 2 . Integro e acabou:

1 2 1 2 x 3 + x - 3 d x = 1 2 x 4 4 + x - 2 - 2 [ 2 1 = 1 2   2 4 4 - 2 - 2 2 - 1 4 4 - 1 - 2 2

= 1 2   16 4 - 1 8 - 1 4 - 1 2 = 1 2   4 - 1 8 - 1 4 + 1 2 = 1 2   4 + 1 8 = 33 16

Resposta

L = 33 16

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