Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

d) r ( t )   =   a ( s i n h   t   -   t ) i →   +   a ( c o s h   t   -   1 ) j → ,   0   ≤   t   ≤   T ,   a   >   0 .

Passo 1

Falai galerinha, bora la?

A curva que estamos considerando é descrita pela equação r ( t )   =   a ( s i n h   t   -   t ) i →   +   a ( c o s h   t   -   1 ) j → ,   0   ≤   t   ≤   T ,   a   >   0 , onde a   é um número positivo e t varia de 0 a T . 7

Queremos encontrar o comprimento do segmento dessa curva que ocorre entre t = 0   e   t = T .

Para calcular o comprimento de arco, precisamos primeiro encontrar a derivada da equação r ( t ) o que nos dará a velocidade da partícula ao longo da curva.

A derivada r ' ( t ) é calculada separadamente para as componentes x   e   y da curva.

A derivada da componente x   e cosh ⁡ t e a derivada da componente y     é   a sinh ⁡ t .

Juntando essas derivadas, temos a derivada total r ' t = a cosh ⁡ t i + a sinh ⁡ t j

Agora, o comprimento de arco é encontrado integrando a magnitude dessa derivada | r ' t | em relação a t no intervalo de 0   a   T .

Usamos as propriedades do cosseno hiperbólico ( c o s h ) e do seno hiperbólico ( s i n h ) para simplificar a expressão | r ' t | e, ao final, chegamos a cosh ⁡ T .

Portanto, o comprimento de arco s   ao longo dessa curva é a cosh ⁡ T , onde a é o parâmetro positivo da curva e T   é o valor máximo de t dentro do intervalo dado.

Passo 2

O comprimento de arco s   de uma curva descrita por um vetor posição r ( t ) ao longo de um intervalo t 1 , t 2 é dado pela integral do módulo da derivada da curva em relação a \(t\):

s = ∫ t 1 t 2 r ' d d t

Onde r ' ( t ) é a derivada da função vetor r ( t ) em relação a   t .

Para o seu caso, onde r ( t )   =   a ( s i n h   t   -   t ) i →   +   a ( c o s h   t   -   1 ) j → , vamos calcular a derivada e então integrar para obter o comprimento de arco.

Primeiro, calculamos a derivada r ' ( t ) :

r ' t = d d t a sinh ⁡ t - t i + a cosh ⁡ t - 1 j

= acosh ⁡ t   i + a sinh ⁡ t j

Passo 3

O módulo da derivada é:

r ' t = a cosh ⁡ t 2 + a sinh ⁡ t 2 = a cosh 2 ⁡ t + sinh 2 ⁡ t

= a cosh 2 ⁡ t - sinh 2 ⁡ t + sinh 2 ⁡ t

= a 1 + sinh 2 ⁡ t = a cosh ⁡ t

Agora podemos integrar | r ' t | em relação a t no intervalo 0 , T :

s = ∫ 0 T a cosh ⁡ t d t = a ∫ 0 T cosh ⁡ t d t = a sinh ⁡ T

Portanto, o comprimento de arco s ao longo da curva é a sinh ⁡ T onde a > 0   e   T é o limite superior do intervalo de tempo.

Resposta

Portanto, o comprimento de arco s ao longo da curva é a sinh ⁡ T onde a > 0   e   T é o limite superior do intervalo de tempo.

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1