Calcule o comprimento das curvas dadas no intervalo dado:

c) y = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) , x ∈ 0 , π 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento da curva y = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) no intervalo 0 , π 4 . Fazer isso é molezinha quando a gente conhece a fórmula do comprimento de arco, que é dada por:

c = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Onde a ,   b é o intervalo considerado e f ' ( x ) é a derivada da função f x = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) . Então, basta a gente substituir todo mundo e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral, vamos ter:

c = ∫ 0 π / 4 1 + f ' x 2 d x

Derivando f ( x ) , temos:

f ' x = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ' = - tan ⁡ x

Então, fica:

c = ∫ 0 π / 4 1 + - tan ⁡ x 2 d x

c = ∫ 0 π / 4 1 + tan 2 ⁡ x d x

Usando a identidade trigonométrica 1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x , temos:

c = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x

Tirando a raiz:

c = ∫ 0 π / 4 sec ⁡ x d x

A integral da secante é igual a ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x , então temos:

c = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 0 π / 4

Aplicando os intervalos de integração:

c = ln ⁡ tan ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4 - ln ⁡ tan ⁡ 0 + sec ⁡ 0

c = ln ⁡ ( 1 + 2 )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = ln ⁡ ( 1 + 2 )

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