O comprimento da curva y = x - x 2 + a r c s e n x para x ∈ 1 2 , 1 é:

a) 2 1 - 1 2

b) 1

c) 1 2

d) 2 1 2 + 1 2

e) 2 1 2 + 1 3

Passo 1

Para calcular comprimento da curva a gente usa a fórmulinha:

L = ∫ a b 1 + y ' x 2 d x

Aí precisamos achar a derivada de:

y x = x - x 2 + a r c s e n x

Repara que os dois termos da soma são funções compostas, então vamos precisar usar a regra da cadeia. Vamos olhar o primeiro termo:

x - x 2 = x - x 2 1 2

Aí a gente calcula a derivada da função de fora no ponto da de dentro e multiplica pela derivada da função de dentro. Nos dois casos usamos a regrinha para polinômios:

x - x 2 1 2 ' = 1 2 x - x 2 - 1 2 ⋅ 1 - 2 x = 1 - 2 x 2 x - x 2

O segundo termo também é uma função composta. Do lado de fora temos a função a r c s e n x . Essa função tem essa derivada:

a r c s e n x ' = 1 1 - x 2

Aí vamos precisar a regra da cadeia para achar:

a r c s e n x ' = 1 1 - x 2 ⋅ x ' = 1 1 - x ⋅ 1 2 x = 1 2 x - x 2

Juntando os dois termos:

y ' = x - x 2 ' + a r c s e n x ' = 1 - 2 x 2 x - x 2 + 1 2 x - x 2

y = 2 - 2 x 2 x - x 2 = 1 - x x - x 2

Aí nossa fórmulinha fica:

L = ∫ a b 1 + 1 - x x - x 2 2 d x =

Passo 2

[ a , b ] é o intervalo em que a nossa curva está, no nosso caso 1 2 , 1 . Aí nossa integral fica:

L = ∫ 1 2 1 1 + 1 - x x - x 2 2 d x

L = ∫ 1 2 1 1 + 1 - x 2 x - x 2 d x

L = ∫ 1 2 1 1 + 1 - 2 x + x 2 x - x 2 d x

Vamos reescrever esse integrando até achar uma expressão melhorzinha:

1 + 1 - 2 x + x 2 x - x 2 = x - x 2 x - x 2 + 1 - 2 x + x 2 x - x 2 = x - x 2 + 1 - 2 x + x 2 x - x 2 = 1 - x x - x 2

1 - x x - x 2 = 1 x 1 - x 1 - x = 1 x = 1 x = 1 x 1 2 = x - 1 2

Aí nossa integral mais fofa fica:

L = ∫ 1 2 1 x - 1 2 d x

Passo 3

Aí a gente resolve a integral.

Vamos usar a regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para a gente n = - 1 2 :

L = ∫ 1 2 1 x - 1 2 d x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 2 1 = x 1 2 1 2 1 2 1 = 2 x 1 2 1 2 1 = 2 x 1 2 1

L = 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 2 = 2 1 - 1 2 = 2 1 - 1 2

Resposta

Letra a

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Ache o comprimento da curva. y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) , 0 ≤ x ≤ π / 4
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1