Consideremos a curva y = 1 2 ∙ x x 2 - 1 - ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) para 1 ≤ x ≤ 4 .

a) Determinar o comprimento s desta curva.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento da curva y = 1 2 ∙ x x 2 - 1 - ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) no intervalo de 0 a 4 . Pra calcular o comprimento de uma curva nós usamos a fórmula do comprimento de arco, que é dada por:

s = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Onde [ a ,   b ] é o intervalo considerado e d y d x é a derivada da função y em relação a x .

Então, o que nós vamos fazer é calcular essa derivada e substituir na integral, junto com o intervalo [ 1 ,   4 ] , para obter o valor do comprimento s .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral d y / d x de y = 1 2 ∙ x x 2 - 1 - ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) . Usando a regra do produto juntamente com a regra da Cadeia, temos:

d y d x = 1 2 2 x 2 - 1 x 2 - 1 - 1 x 2 + 1

Como os termos tem denominadores iguais, podemos somar as frações:

d y d x = 1 2 2 x 2 - 1 - 1 x 2 + 1 = 1 2 2 x 2 - 2 x 2 + 1

Colocando 2 em evidência:

d y d x = 1 2 2 ( x 2 - 1 ) x 2 + 1 = x 2 - 1 x 2 + 1

Multiplicando a fração por x 2 - 1 x 2 - 1 , temos:

d y d x = x 2 - 1 x 2 + 1 ∙ x 2 - 1 x 2 - 1

Assim:

d y d x = ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) ( x 2 - 1 ) = ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 x 2 - 1

Simplificando, temos:

d y d x = x 2 - 1

Passo 3

Agora vamos substituir esse resultado na equação do comprimento de arco:

s = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

s = ∫ 1 4 1 + x 2 - 1 2 d x

Elevando ao quadrado:

s = ∫ 1 4 1 + x 2 - 1 d x

= ∫ 1 4 x 2 d x

= ∫ 1 4 x   d x

E caímos numa integral simples, onde basta usar a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

s = x 1 + 1 1 + 1 1 4 = x 2 2 1 4

Aplicando os limites de integração:

s = 4 2 2 - 1 2 2

s = 8 - 1 2 =

E temos o comprimento da nossa curva:

s = 15 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s = 15 2

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1